Le grand théorème de Fermat-Wiles est en fait une conjecture énoncée vers 1640 par Fermat, qui disait en avoir une preuve merveilleuse. Malgré les efforts de très nombreux mathématiciens au fil des siècles, le théorème ne fut finalement démontré qu’en 1995 par Andrew Wiles qui a utilisé des techniques mathématiques très sophistiquées inexistantes à l’époque de Fermat. En voici l'énoncé :
Théorème de Fermat-Wiles
Si $n$ est un entier positif supérieur à $2$, l’équation $x^n+y^n=z^n$ ne possède aucune solution avec $x$, $y$ et $z$ entiers positifs.
Nous savons que Fermat savait démontrer son théorème dans le cas particulier où $n = 4$. Nous en présentons la preuve dans une vidéo en deux parties.
Dans la première partie, on énonce le théorème de Fermat-Wiles, on en fait un bref historique et on présente les propriétés des triplets pythagoriciens primitifs.
Dans la seconde partie on utilise ces propriétés des triplets pythagoriciens primitifs et la technique de la descente infinie développée par Fermat pour démontrer le théorème de Fermat-Wiles dans le cas $n = 4$.
La preuve proposée n’est pas la preuve de Fermat, mais elle n’utilise que des arguments que Fermat connaissait bien, il n’aurait aucun mal à suivre cette démonstration et il dirait probablement « Ce n’est qu’une reformulation de mes idées ».
Document compagnon : Vous trouverez ici un document qui revient sur quelques concepts vus dans les vidéos.