La méthode des coefficients indéterminés est une méthode de calcul utilisée pour déterminer les coefficients de la série de puissances d’une fonction rationnelle.
Le théorème du binôme de Newton généralise aux exposants qui ne sont pas des entiers positifs le théorème du binôme bien connu. En version moderne simplifiée, le théorème peut être énoncé comme suit :
Théorème : Pour $|x|<1$, on a $$(1+x)^r = 1+rx+\frac{r(r-1)}{2!}x^2+\frac{r(r-1)(r-2)}{3!}x^3+\frac{r(r-1)(r-2)(r-3)}{4!}x^4+\ldots$$
On voit facilement que dans le cas où $r$ est un entier positif, la somme est finie et c’est le théorème du binôme bien connu. Dans le cas où $r$ n’est pas un entier positif, la somme est infinie, c’est le théorème du binôme de Newton.
Dans la vidéo, on va utiliser le produit de séries ou de polynômes pour faire deux choses :
- trouver la série de puissance d’une fonction rationnelle donnée ;
- vérifier un cas particulier du théorème du binôme de Newton
Document compagnon : Vous trouverez ici un document qui revient sur quelques concepts vus dans la vidéo.