Nous allons présenter en dimension n le volume d’une pyramide tronquée. En dimension 2, une pyramide tronquée est tout simplement un trapèze. Si la grande base du trapèze est de longueur b, la petite base est de longueur a et la hauteur est de longueur h, l’aire du trapèze est donnée par la formule A = (a+b)h/2. L’aire est donc égale à la moyenne arithmétique des longueurs des bases multipliée par la hauteur.
Si on essaie d’appliquer cette formule en dimension 3, nous n’obtenons pas le bon résultat. Les égyptiens connaissaient bien les pyramides et ils utilisaient une formule correcte pour le calcul du volume d’une pyramide tronquée. Supposons une telle pyramide tronquée de hauteur h, dont la grande base est un carré de côté b et la petite base est un carré de côté a. Le volume de cette pyramide tronquée est donné par la formule V = (a²+ab+b²)h/3. L’expression (a²+ab+b²)/3 est appelé la moyenne héronienne entre l’aire des deux bases.
Pourquoi la moyenne arithmétique en dimension 2 et la moyenne héronienne en dimension 3 ? Peut-on trouver une formule en dimension n, pour chaque valeur de n supérieure ou égale à 2 ?
La réponse est oui. En fait la moyenne arithmétique et la moyenne héronienne sont des cas particuliers d’une formule générale simple qui permet de calculer le volume généralisé d’une « pyramide » tronquée en toutes dimensions.
Document compagnon : Vous trouverez ici un document qui revient sur quelques concepts vus dans la vidéo.