Éléments optiques homogènes

Version préliminaire

Les éléments optiques homogènes sont les éléments qui, comme les diatténuateurs ou les retardeurs, ont une matrice de Jones normale. Nous allons calculer les matrices de Mueller-Jones de ces éléments et voir quelle forme peut prendre une matrice de Mueller-Jones dans le cas général.

1. Matrice de Mueller d'un élément optique homogène

Dans le jargon de l'optique, on dit qu'une matrice de Jones est homogène si elle est normale. Un élément optique non dépolarisant dont la matrice de Jones est normale est lui aussi dit homogène.

Soit $\mat J$ une matrice de Jones homogène. On peut écrire $$\begin{array} {cc} \mat J = \lambda \boldsymbol\phi \boldsymbol\phi^\dagger + \mu \boldsymbol\psi \boldsymbol\psi^\dagger, & \mat J^\dagger = \lambda^* \boldsymbol\phi \boldsymbol\phi^\dagger + \mu^* \boldsymbol\psi \boldsymbol\psi^\dagger, \end{array} \tag 1$$ où les vecteurs de Jones $\boldsymbol\phi$ et $\boldsymbol\psi$ sont orthonormés. Si nous posons $$\boldsymbol\phi = \begin{bmatrix} \cos\theta\cos\epsilon-i\sin\theta\sin\epsilon \\ \sin\theta\cos\epsilon+i\cos\theta\sin\epsilon \end{bmatrix}, \tag 2$$ on a vu que le vecteur de Stokes correspondant $\mat s = [s_0~\vec s]^\t$ aura pour composantes $s_0=1$ et $$\mkern-20mu \vec s = \left( \cos(2\epsilon)\cos(2\theta)\, \cos(2\epsilon)\sin(2\theta)\, -\sin(2\epsilon) \right). \tag 3$$ Rappelons que les $s_k$ sont calculés en utilisant la formule $$s_k = 2\boldsymbol{\phi}^\dagger\boldsymbol{\sigma}_k\boldsymbol{\phi} \tag 4$$ et que le vecteur $\boldsymbol\psi$ étant normé et perpendiculaire au vecteur $\boldsymbol\phi$, le vecteur de Stokes correspondant sera $$\mat s' = [1~-\vec s]^\t. \tag 5$$

On aura aussi besoin des quantités $$q_k = u_k+iv_k = 2\boldsymbol{\phi}^\dagger\boldsymbol{\sigma}_k\boldsymbol{\psi}. \tag 6$$ Avec $$\boldsymbol\psi = \begin{bmatrix} -\sin\theta\cos\epsilon+i\cos\theta\sin\epsilon \\ \cos\theta\cos\epsilon+i\sin\theta\sin\epsilon \end{bmatrix}, \tag 7$$ on vérifie qu'on a $$u_0 = v_0 = 0$$ et $$\begin{array} {l} \vec u = \left( -\sin(2\theta)\, \cos(2\theta)\, 0 \right), \\ \vec v = \left( \cos(2\theta)\sin(2\epsilon)\, \sin(2\theta)\sin(2\epsilon)\, \cos(2\epsilon) \right). \end{array} \tag 8$$ On constate que $$\{\vec s\, \vec u\, \vec v\}$$ est une base orthonormale d'un trièdre direct.

On peut maintenant calculer les éléments de la matrice de Mueller $\mat M$ qui correspond à la matrice de Jones $\mat J$ en utilisant la formule $$m_{kl} = 2\tr(\boldsymbol{\sigma}_k\mat J \boldsymbol\sigma_l\mat{J}^\dagger )~: \tag 9$$

$$\mkern-20mu \begin{split} m_{kl} & = 2 |\lambda |^2 \tr(\boldsymbol{\sigma}_k\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{\phi}^\dagger\boldsymbol\sigma_l\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{\phi}^\dagger) + 2 \lambda \mu^* \tr(\boldsymbol{\sigma}_k\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{\phi}^\dagger\boldsymbol\sigma_l\boldsymbol{\psi}\boldsymbol{\psi}^\dagger) + 2 \lambda^* \mu \tr(\boldsymbol{\sigma}_k\boldsymbol{\psi}\boldsymbol{\psi}^\dagger\boldsymbol\sigma_l\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{\phi}^\dagger) + 2 |\mu |^2 \tr(\boldsymbol{\sigma}_k\boldsymbol{\psi}\boldsymbol{\psi}^\dagger\boldsymbol\sigma_l\boldsymbol{\psi}\boldsymbol{\psi}^\dagger) \\ & = 2 |\lambda |^2 \boldsymbol{\phi}^\dagger\boldsymbol{\sigma}_k\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{\phi}^\dagger\boldsymbol\sigma_l\boldsymbol{\phi} + 2 \lambda \mu^* \boldsymbol{\psi}^\dagger\boldsymbol{\sigma}_k\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{\phi}^\dagger\boldsymbol\sigma_l\boldsymbol{\psi} + 2 \lambda^* \mu \boldsymbol{\phi}^\dagger\boldsymbol{\sigma}_k\boldsymbol{\psi}\boldsymbol{\psi}^\dagger\boldsymbol\sigma_l\boldsymbol{\phi} + 2 |\mu |^2 \boldsymbol{\psi}^\dagger\boldsymbol{\sigma}_k\boldsymbol{\psi}\boldsymbol{\psi}^\dagger\boldsymbol\sigma_l\boldsymbol{\psi} \\ & = \frac 1 2 \left[ |\lambda |^2 s_k s_l + \lambda \mu^* q_k^* q_l + \lambda^* \mu q_kq_l^* + |\mu |^2 s'_k s'_l \right] \\ & = \frac 1 2 \left[ |\lambda |^2 s_k s_l + 2 \re(\lambda \mu^*) (u_k u_l +v_k v_l) - 2 \im(\lambda \mu^*) (u_k v_l - v_k u_l) + |\mu |^2 s'_k s'_l \right], \end{split} \mkern-25mu \tag {10}$$ ce qui donne pour $\mat M$ la forme partitionnée $$\mat M = \frac 1 2 \begin{bmatrix} |\lambda |^2 + |\mu |^2 & (|\lambda |^2 - |\mu |^2) \begin{bmatrix} s_1 & s_2 & s_3 \end{bmatrix} \\ (|\lambda |^2 - |\mu |^2) \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} {(|\lambda |^2 + |\mu |^2) s_k s_l \\ + 2 \re(\lambda \mu^*) (u_k u_l +v_k v_l) \\ - 2 \im(\lambda \mu^*) (u_k v_l - u_l v_k)} \end{bmatrix}_{k, l = 1, 2, 3} \end{bmatrix}. \tag {11}$$

2. Diatténuateurs

Dans le cas d'un diatténuateur, les valeurs propres sont réelles et non-négatives : $\lambda, \mu \in \reels^+$. En supposant que $\lambda \ge \mu$, on aura comme matrice de Mueller $$\mat M_D = \frac 1 2 \begin{bmatrix} \lambda^2 + \mu^2 & (\lambda^2 - \mu^2) \begin{bmatrix} s_1 & s_2 & s_3 \end{bmatrix} \\ (\lambda^2 - \mu^2) \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} {(\lambda^2 + \mu^2) s_k s_l \\ + 2\lambda \mu (u_k u_l +v_k v_l)} \end{bmatrix}_{k, l = 1, 2, 3} \end{bmatrix} \tag {12}$$ On remaquera que dans (12), $s_ks_l$ sont les éléments de la matrice $\mat P$ qui projette sur le vecteur $\vec s$. De plus, puisque $\vec s$, $\vec u$ et $\vec v$ forment une base orthonormale, $$s_k s_l+u_k u_l +v_k v_l=\delta_{kl} \implies (\lambda^2 + \mu^2) s_k s_l + 2\lambda \mu (u_k u_l +v_k v_l) = (\lambda - \mu)^2 s_k s_l + 2\lambda \mu \delta_{kl} \tag {13}$$ Il est d'usage d'introduire la notation¹ $\mat{\hat{d}} = [s_1~s_2~s_3]^\t$ et de poser² $$\begin{array} {ll} T = \displaystyle\frac {\lambda^2 + \mu^2} 2 , & d = \displaystyle\frac {\lambda^2 - \mu^2} {\lambda^2 + \mu^2} \implies \displaystyle\frac {2\lambda \mu} {\lambda^2 + \mu^2} = \sqrt{1-d^2}. \end{array} \tag {14}$$ On peut ainsi réécrire la matrice (12) sous la forme $$\mat M_D = T \begin{bmatrix} 1 & \mat d^\t \\ \mat d & \mat m_D \end{bmatrix} \tag {15}$$ où $$\begin{array} {lll} \mat d = d \mat{\hat{d}}, & \mat m_D = \mat P + \sqrt{1-d^2} (\mat I - \mat P), & \mat P = \mat{\hat{d}} \mat{\hat{d}}^\t. \end{array} \tag {16}$$ La matrice $\mat m_D$ est symétrique avec les valeurs propres $1$, $\sqrt{1-d^2}$, $\sqrt{1-d^2}$ et est donc semi-définie positive avec $$\det\mat m_D = 1-d^2 \ge 0. \tag {17}$$

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¹ $\mat{\hat{d}}$ est donc une autre notation pour le vecteur $\vec s$.

² On notera que $0 \le d \le 1$.

3. Retardeurs

Dans le cas d'un retardeur, les valeurs propres sont de module un. Quitte à multiplier la matrice de Jones par un facteur global, on peut supposer qu'on a $\lambda, \mu = e^{\pm i \varphi}\, \varphi \in \reels$. On aura alors pour matrice de Mueller $$\mat M_R = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \begin{bmatrix} {s_k s_l \\ + \cos(2 \varphi) (u_k u_l +v_k v_l) \\ - \sin(2 \varphi) (u_k v_l - u_l v_k)} \end{bmatrix}_{k, l = 1, 2, 3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mat m_R \end{bmatrix}. \tag {18}$$ On constate que pour un vecteur $\vec w = \alpha \vec s + \beta \vec u + \gamma \vec v$, on aura $$\mat m_R \vec w = \alpha \vec s + (\cos(2 \varphi)\beta-\sin(2 \varphi)\gamma) \vec u + (\sin(2 \varphi)\beta+\cos(2 \varphi)\gamma) \vec v.$$ $\mat m_R$ est donc une matrice de rotation d'un angle $2\varphi$ autour d'un axe parallèle au vecteur $\vec s$, ce qui entraîne $$\det\mat m_R = 1. \tag {19}$$

4. Application aux matrices de Mueller-Jones

Soit $$\mat M = m_{00} \begin{bmatrix} 1 & \mat d \\ \mat p & \mat m \end{bmatrix} \tag {20}$$ une matrice de Mueller-Jones. Puisqu'on sait qu'on peut écrire la matrice de Jones correspondante sous la forme $$\mat J = \mat U \mat H = \mat J_R \mat J_D \tag {21}$$ où $\mat J_R$ est la matrice de Jones d'un retardeur et $\mat J_D$ celle d'un diatténuateur, on sait que $\mat M$ doit avoir une décom­position similaire : $$\begin{split} \mat M = \mat M_R \mat M_D & = T \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mat m_R \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \mat d^\t \\ \mat d & \mat m_D \end{bmatrix} \\ &= T \begin{bmatrix} 1 & \mat d^\t \\ \mat m_R \mat d & \mat m_R \mat m_D \end{bmatrix} \end{split}. \tag {22}$$ On remarquera dans l'équation (16) que $d = \| \mat d \|$ et que donc la matrice $\mat m_D$ est complètement déterminée par le vecteur $\mat d$. Ceci veut dire que dans la décomposition (22) de la matrice (20), $\mat m_D$ est connu puisque $\mat d$ l'est.

Deux cas peuvent se présenter : (i) $d \lt 1$ et $\mat m_D$ est régulière ; (ii) $d = 1$ et $\mat m_D$ est singulière.

Cas d < 1

Puisque $\mat m_D$ est inversible, la matrice de rotation $\mat m_R$ est complètement déterminée : elle doit être égale à $\mat m \mkern2mu \mat m_D^{-1}$. On doit donc avoir $\mat p = \mat m_R \mkern2mu \mat d = \mat m \mkern2mu \mat m_D^{-1}\mat d$.

Cas d = 1

La matrice matrice de rotation $\mat m_R$ est en partie arbitrai­re : la seule contrainte est qu'on doit avoir $\mat p = \mat m_R \mkern2mu \mat d$. Pour ce qui est de $\mat m_D$, on a $\mat m_D = \mat{{d}} \mat{{d}}^\t.$ La matrice $\mat M$ a donc la forme $$\begin{split} \mat M & = T \begin{bmatrix} 1 & \mat d^\t \\ \mat m_R \mat d & \mat m_R \mat{{d}} \mat{{d}}^\t \end{bmatrix} \\ & = T \begin{bmatrix} 1 \\ \mat p \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \mat d^\t \end{bmatrix}. \end{split} \tag {23}$$

Remarques

1. Dans les deux cas, puisque $\mat p = \mat m_R \mkern2mu \mat d$, on doit avoir $$\| \mat p \| = \| \mat d \| = d. \tag {24}$$

2. Le déterminant de $\mat m$ ne peut pas être négatif, puisque $$\det\mat m = \det\mat m_R \det\mat m_D = 1-d^2 \ge 0. \tag {25}$$

5. Compléments, notes et références

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