$\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}$ $\newcommand{\fvec}[1]{\tilde{\vec{#1}}}$ $\newcommand{\ffvec}[1]{\check{\vec{#1}}}$ $\newcommand{\fffvec}[1]{\check{\tilde{\vec{#1}}}}$ $\newcommand{\f}[1]{\tilde{#1}}$ $\newcommand{\ff}[1]{\check{#1}}$ $\newcommand{\fff}[1]{\check{\tilde{#1}}}$ $\newcommand{\reels}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\eps}{\varepsilon}$ $\newcommand{\ka}{\kappa}$ $\newcommand{\xy}{\mathbin{/\mkern-4mu/}}$ $\DeclareMathOperator{\tr}{tr}$ $\DeclareMathOperator{\atan}{arctg}$

Formalisme de Jones et matrices de polarisation

Imaginons un faisceau lumineux dans l'air traversant divers éléments linéaires tels que polariseurs, lames à retard, etc. Le formalisme de Jones vise principalement à décrire l'état de polarisation de ce faisceau au cours de son trajet.

1. Vecteurs de Jones

Dans le formalisme de Jones, on étudie un champ qui, entre deux appareils, se propage dans une direction bien précise. On néglige complètement les réflexions : on s'assure bien sûr qu'il n'y a pas de réflexions multiples entre les différents appareils. On assimile le champ à une onde plane monochromatique ; pour simplifier les nota­tions, on suppose généralement que cette onde se propa­ge dans la direction des $z$ positifs. L'état du champ est donc complè­tement déterminé par le vecteur de Jones $$\boldsymbol{\phi} = \begin{bmatrix} \f{E}_x \\ \f{E}_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |\f{E}_x| \mkern 2mu e^{i \delta_x} \\ |\f{E}_y| \mkern 2mu e^{i \delta_y} \end{bmatrix}$$

Dans la lumière visible, le champ varie trop rapidement pour qu'on puisse mesurer sa phase : la seule chose qu'on peut mesurer, en fait, c'est une différence de phase¹. On rencontre donc très souvent des vecteurs de Jones définis à un facteur de phase près : $$\begin{array} {ll} \boldsymbol{\phi} = \begin{bmatrix} \mkern -20mu|\f{E}_x| \\ |\f{E}_y| \mkern 2mu e^{i \delta} \end{bmatrix}, & \delta=\delta_y-\delta_x. \end{array}$$ Il est aussi commun d'introduire un angle $\psi$ pour décrire

la grandeur relative de $|\f{E}_x|$ et $|\f{E}_y|$ : $$\begin{array} {ll} |\f{E}_x|=|\f{E}|\cos\psi, & |\f{E}_y|=|\f{E}|\sin\psi, \end{array}$$ ce qui donne au total $$\boldsymbol{\phi} = |\f{E}|\begin{bmatrix} \mkern -20mu\cos\psi \\ \sin\psi\mkern 2mu e^{i\delta} \end{bmatrix}. \tag 1$$ On peut ainsi voir un vecteur de Jones comme constitué de deux éléments distincts :

  1. Un nombre positif $|\f{E}|$ relié à l'intensité du faisceau ;
  2. Un vecteur unitaire $$\boldsymbol{\hat\phi} = \begin{bmatrix} \cos\psi & \sin\psi\mkern 2mu e^{i\delta} \end{bmatrix}^T$$ de l'espace d'Hilbert $\mathbb{C}^2$, défini à un facteur de phase près (techniquement, un rayon de $\mathbb{C}^2$) décrivant l'état de polarisation du faisceau.

La nature du deuxième élément fait qu'il y a une simi­litude frappante entre la description de la polarisation d'un faisceau lumineux et la mécanique quantique d'un système avec une base de dimension deux.

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¹ Souvent qualifiée de phase relative.

2. Matrices de polarisation

Il est bien connu en mécanique quantique qu'on peut identifier les rayons d'un espace d'Hilbert avec les projecteurs sur les sous-espace de dimension 1 qu'ils engendrent. La situation est analogue dans le formalisme de Jones : considérons la matrice de polarisation² $$\boldsymbol\sigma = \boldsymbol\phi \boldsymbol\phi^\dagger = \begin{bmatrix} |\f{E}_x|^2 & \f{E}_x \f{E}_y^* \\ \f{E}_x^* \f{E}_y & |\f{E}_y|^2 \end{bmatrix}. \tag 2$$ Lorsqu'on écrit $\boldsymbol\phi$ sous la forme (1), cette matrice devient $$\begin{split} \boldsymbol{\sigma} & = |\f{E}|^2 \begin{bmatrix} \cos^2 \psi & \cos\psi\sin\psi\mkern 2mu e^{-i\delta} \\ \cos\psi\sin\psi\mkern 2mu e^{i\delta} & \sin^2 \psi \end{bmatrix} \\ & = \dfrac{|\f{E}|^2} 2 \begin{bmatrix} 1+\cos(2 \psi) & \sin(2\psi)\mkern 2mu e^{-i\delta} \\ \sin(2\psi)\mkern 2mu e^{i\delta} & 1-\cos(2 \psi) \end{bmatrix}. \end{split} \tag 3$$

Manifestement, les équations (1) et (3) convient la même information.

Tout comme pour les vecteurs de Jones, on peut voir les matrices de polarisation correspondantes comme consti­tuées de deux éléments distincts :

  1. Un nombre positif $|\f{E}|^2$ proportionnel à l'intensité du faisceau ;
  2. Une matrice hermitienne $$P(\boldsymbol{\hat\phi}) = \begin{bmatrix} \cos^2 \psi & \cos\psi\sin\psi\mkern 2mu e^{-i\delta} \\ \cos\psi\sin\psi\mkern 2mu e^{i\delta} & \sin^2 \psi \end{bmatrix} \tag 4$$ qui, techniquement, est le projecteur sur le sous-espace engendré par le vecteur $\boldsymbol{\hat\phi}$ (matrice qui, on le verra, joue un rôle très important).
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² Dans la littérature, cette matrice porte souvent le nom de matrice de cohérence, appellation qualifiée de désuète par certains.

3. Polarisation elliptique

On a vu au chapitre I que, dans un milieu isotrope trans­parent, le champ électrique d'une onde plane décrit une ellipse centrée à l'origine (on peut voir la polarisation linéaire comme un cas particulier où l'ellipse est complè­tement aplatie). Nous voulons trouver des paramètres pour exprimer le vecteur de Jones correspondant de manière simple.

Tout d'abord, il est possible de faire tourner l'ellipse d'un angle $-\theta$ pour amener son grand axe sur l'axe des $x$. On aura alors $$\begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \cos(\omega t-\varphi) \\ \pm b \sin(\omega t-\varphi) \end{bmatrix}~\Leftrightarrow~ \begin{bmatrix} \f{E}_x \\ \f{E}_y \end{bmatrix} = e^{i\varphi}\begin{bmatrix} a \\ \pm ib \end{bmatrix},$$ où $0 \le b \le a$ ; l'ellipse est parcourue dans le sens direct avec le signe + et dans le sens horaire avec le signe -. On peut alors introduire un angle $\epsilon$ (compris entre $-\pi/4$ et $\pi/4$) défini par $$\epsilon = \pm\atan(b/a),$$ ce qui donne $$\begin{bmatrix} \f{E}_x \\ \f{E}_y \end{bmatrix} = |\f{E}|e^{i\varphi} \begin{bmatrix} \cos\epsilon \\ i\sin\epsilon \end{bmatrix},$$ où $|\f{E}|=\sqrt{a^2+b^2}$. Finalement, il nous reste à faire tourner l'ellipse d'un angle $\theta$ pour la ramener à sa position initiale. Au total, on aura donc³ $$\begin{bmatrix} \f{E}_x \\ \f{E}_y \end{bmatrix} = |\f{E}|e^{i\varphi} \begin{bmatrix} \cos\theta\cos\epsilon-i\sin\theta\sin\epsilon \\ \sin\theta\cos\epsilon+i\cos\theta\sin\epsilon \end{bmatrix}. \tag 5$$ À noter que la polarisation est linéaire si $\epsilon=0$, circulaire gauche si $\epsilon = \pi/4$ et circulaire droite si $\epsilon = -\pi/4$.

L'animation à droite permet de visualiser le phénomène pour différentes valeurs de $\theta$ et de $\epsilon$.

Valeurs des paramètres en degrés :

ϵ =   θ =

Si on veut calculer la matrice de polarisation de ce champ, on obtient $$\begin{split} |\f{E}_x|^2 & = |\f{E}|^2 (\cos^2\mkern -2mu \theta\mkern 4mu \cos^2\mkern -2mu \epsilon+\sin^2\mkern -2mu \theta\mkern 4mu \sin^2\mkern -2mu \epsilon) \\ & = |\f{E}|^2 \left[\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 \cos(2\theta)\cos(2\epsilon)\right], \end{split} \tag{6a}$$ $$\begin{split} |\f{E}_y|^2 & = |\f{E}|^2 (\sin^2\mkern -2mu \theta\mkern 4mu \cos^2\mkern -2mu \epsilon+\cos^2\mkern -2mu \theta\mkern 4mu \sin^2\mkern -2mu \epsilon) \\ & = |\f{E}|^2 \left[\dfrac 1 2 -\dfrac 1 2 \cos(2\theta)\cos(2\epsilon) \right] \end{split} \tag{6b}$$ et $$\mkern 12mu \begin{split} \f{E}_x \f{E}_y^* & = |\f{E}|^2 \left[\cos\theta\sin\theta(\cos^2\mkern -2mu \epsilon-\sin^2\mkern -2mu \epsilon)+i\cos\epsilon\sin\epsilon\right] \\ & = |\f{E}|^2 \left[\dfrac 1 2 \sin(2\theta)\cos(2\epsilon)+\dfrac i 2 \sin(2\epsilon)\right].~~~~~~~(6c)\end{split}$$

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³ Voir la section 5.

4. Matrices de Jones

Lorsqu'un faisceau traverse un élément linéaire, il est possible de relier les vecteurs de Jones à l'entrée et à la sortie par une relation matricielle4 : $$\boldsymbol\phi_{out} = \vec J \boldsymbol\phi_{in}. \tag 7$$ La matrice $\vec J$ porte le nom de matrice de Jones de l'élément. En ce qui concerne les matrices de polarisation, puisqu'on a $$\begin{array} {ll} \boldsymbol\sigma_{in} = \boldsymbol\phi_{in}\boldsymbol\phi_{in}^\dagger, & \boldsymbol\sigma_{out} = \boldsymbol\phi_{out}\boldsymbol\phi_{out}^\dagger, \end{array}$$ l'action des matrices de Jones sera donnée par $$\boldsymbol\sigma_{out}=\vec J \boldsymbol\sigma_{in}\vec{J}^\dagger. \tag 8$$

Nous donnons ici les matrices de Jones pour deux types communs d'éléments. Indiquons tout de suite qu'il s'agit de matrices « théoriques » pour des éléments idéalisés.

Polariseurs

Un polariseur correspondant à un état de polarisation $\boldsymbol{\hat\phi}$ devrait idéalement avoir pour matrice de Jones $\vec J$ le projecteur correspondant : $$\vec J = \vec P(\boldsymbol{\hat\phi}) = \boldsymbol{\hat\phi} \boldsymbol{\hat\phi}^\dagger.$$ Les états de polarisation qu'on désire obtenir en pratique sont :

  • les polarisations linéaires incliné à un angle $\alpha$ : $$\boldsymbol{\hat\phi}_\alpha= [\cos\alpha~\sin\alpha]^T ;$$
  • les polarisations circulaires gauche/droite : $$\boldsymbol{\hat\phi}_\pm= \dfrac 1 {\sqrt 2}[1~\pm i]^T.$$

On notera que l'action d'un polariseur sur un vecteur de Jones $\boldsymbol{\psi}$ est donnée par $$\vec P(\boldsymbol{\hat\phi})\boldsymbol{\psi}=(\boldsymbol{\hat\phi}^\dagger\boldsymbol{\psi})\boldsymbol{\hat\phi}.$$ Par exemple, $$\vec P(\boldsymbol{\hat\phi}_\alpha)\boldsymbol{\hat\phi}_\theta=\cos(\alpha-\theta)\boldsymbol{\hat\phi}_\alpha.$$ Ceci conduit à la loi de Malus, qui dit que l'intensité du faisceau sortant est proportionnelle à $\cos^2(\alpha-\theta)$.

Lames à retard

Une lame à retard est un élément dont la matrice de Jones a idéalement la forme $$\vec J = e^{i\varphi_1}\vec{P}_1+e^{i\varphi_2}\vec{P}_2,$$ où $$\begin{array} {ll} \vec{P}_1=\vec{P}(\boldsymbol{\hat\phi}_\alpha), & \vec{P}_2=\vec{P}(\boldsymbol{\hat\phi}_{\alpha\pm\pi/2}). \end{array}$$ Si $\varphi_1 \lt \varphi_2$, on dit que la direction correspondant à $\boldsymbol{\hat\phi}_\alpha$ est l'axe rapide et la direction perpendiculaire, l'axe lent. On écrit souvent la matrice de Jones d'une lame à retard sous la forme5 $$\vec J = e^{i\varphi_1}[\vec{P}_1+e^{i\delta\varphi}\vec{P}_2],$$ où $\delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1$ est le retard, ou encore sous la forme5 $$\vec J = e^{i\bar\varphi}[e^{-i\delta\varphi/2}\vec{P}_1+e^{i\delta\varphi/2}\vec{P}_2],$$ où $\bar\varphi=(\varphi_1+\varphi_2)/2$.

On dit que la lame est une lame quart d'onde si on a un retard $\delta\varphi=\pi/2$ et une lame demi onde si $\delta\varphi=\pi$.

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4 Si les vecteurs de Jones sont définis à un facteur de phase près, il en sera forcément de même pour la matrice $\vec J$.

5 Les facteurs de phase $e^{i\varphi_1}$ et $e^{i\bar\varphi}$ sont généralement omis (voir note 4).

5. Rotations

L'action sur un vecteur de Jones d'une rotation d'un angle $\theta$ autour de l'axe des $z$ est donnée par la relation $$\boldsymbol\phi'=\vec R(\theta) \boldsymbol\phi,$$ où la matrice de rotation $\vec R(\theta)$ a la forme $$\vec R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}.$$

Si maintenant on a un élément dont la matrice de Jones est $\vec J$, que devient cette matrice si on fait tourner l'élément d'un angle $\theta$ ?

Pour répondre à la question, notons par $\boldsymbol\phi_{in}$ le champ à l'entrée et par $\boldsymbol\phi_{out}$ le champ à la sortie de l'élément qu'on a fait tourner. On peut obtenir $\boldsymbol\phi_{out}$ par la succession d'opérations suivantes :

  1. Appliquer une rotation d'un angle $-\theta$ à $\boldsymbol\phi_{in}$.
  1. Faire passer le champ résultant dans l'élément avant de le faire tourner.
  2. Effectuer une rotation d'un angle $\theta$ sur tout le système (et donc sur le champ qui sort de l'élément).

On aura donc au total $$\boldsymbol\phi_{out} = \vec R(\theta)\vec J \vec R(-\theta)\boldsymbol\phi_{in},$$ c'est à dire que la matrice de Jones de l'élément après qu'on l'ait fait tourner sera $$\vec J' = \vec R(\theta)\vec J \vec R(-\theta).$$

Par exemple, pour un polariseur linéaire, on aura

$$\begin{split} \vec R(\theta)\vec P(\boldsymbol{\hat\phi}_\alpha) \vec R(-\theta)&=\vec R(\theta)\boldsymbol{\hat\phi}_\alpha \boldsymbol{\hat\phi}_\alpha^\dagger \vec R(\theta)^T\\&= \boldsymbol{\hat\phi}_{\alpha+\theta} \boldsymbol{\hat\phi}_{\alpha+\theta}^\dagger = \vec P(\boldsymbol{\hat\phi}_{\alpha+\theta}). \end{split}$$

6. Compléments, notes et références

Extension de la loi de Malus

On peut réécrire la loi de Malus de manière suivante : $$I \propto \dfrac 1 2 [1+\cos (2\alpha-2\theta)].$$ Cette formule peut être étendue au cas où c'est un champ de la forme (5) qu'on fait passer dans un polariseur linéaire incliné à un angle $\alpha$. Le résultat est, tout simplement, $$I \propto \dfrac 1 2 [1+\cos(2\epsilon)\cos (2\alpha-2\theta)].$$

Convention des opticiens

Comme on l'a vu, lorsqu'on passe à la convention des opticiens, il faut prendre le conjugué complexe des polarisations. Cela veut dire que dans cette convention, les vecteurs de Jones et donc les matrices de polarisation et les matrices de Jones sont les conjugués complexes des quantités équivalentes dans la convention des physiciens : $$\begin{array} {lll} \boldsymbol\phi_{op} = \boldsymbol\phi^*, & \boldsymbol\sigma_{op} = \boldsymbol\sigma^*, & \vec J_{op}= \vec J^*. \end{array}$$ Ceci suppose bien sûr qu'on garde toutes les autres choses égales. Or, tout le monde n'a pas la même convention pour le signe du paramètre $\epsilon$ de la section 3 et $\boldsymbol\sigma(\theta, -\epsilon) = \boldsymbol\sigma^*(\theta, \epsilon)$. La prudence est donc de mise.

Gain maximum unitaire

Il semble qu'il n'y ait qu'une seule contrainte pour qu'une matrice de Jones soit physiquement réalisable : pour des éléments formés de matériaux passifs, l'intensité du faisceau à la sortie ne peut pas être supérieure à l'intensité du faiseau à l'entrée. Puisque pour un vecteur de Jones $\boldsymbol\phi = \begin{bmatrix} E_x & E_y \end{bmatrix}^T$ on a $$I \propto |E_x|^2+|E_y|^2= ||\boldsymbol\phi||^2,$$ il faut donc avoir $$\boldsymbol\phi_{out} = \vec J \boldsymbol\phi_{in}~~\Rightarrow~~||\boldsymbol\phi_{out}|| \le ||\boldsymbol\phi_{in}||.$$ En termes de la matrice $\vec J$, ceci peut être exprimé comme $$||\vec J|| \le 1,$$ où la norme $||\vec J||$ est définie par la formule $$||\vec J|| = \sup_{||\boldsymbol\phi|| \le 1} ||\vec J \boldsymbol\phi||.$$

On verra à la page suivante comment cette conditon peut être exprimée de manière équivalente sous une forme simple.

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