$\newcommand{\mat}[1]{\mathbf{#1}}$ $\newcommand{\fmat}[1]{\tilde{\mat{#1}}}$ $\newcommand{\ffmat}[1]{\check{\mat{#1}}}$ $\newcommand{\fffmat}[1]{\check{\tilde{\mat{#1}}}}$ $\newcommand{\f}[1]{\tilde{#1}}$ $\newcommand{\ff}[1]{\check{#1}}$ $\newcommand{\fff}[1]{\check{\tilde{#1}}}$ $\newcommand{\reels}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\eps}{\varepsilon}$ $\newcommand{\ka}{\kappa}$ $\newcommand{\xy}{\mathbin{/\mkern-4mu/}}$ $\DeclareMathOperator{\tr}{tr}$ $\DeclareMathOperator{\diag}{diag}$ $\DeclareMathOperator{\re}{Re}$ $\DeclareMathOperator{\im}{Im}$ $\DeclareMathOperator{\atan}{arctg}$

Matrices de Mueller-Jones

Les matrices de Mueller de la page précédente peuvent être utilisées dans un cadre plus général, celui de la lumière partiellement polarisée. Mais elles sont aussi utilisées dans des situation où le formalisme de Jones est valide. On leur donne alors le nom de matrices de Mueller-Jones ou matrices de Mueller pures. Nous voulons ici étudier plus avant la relation qui existe entre deux matrices, $\mat J$ et $\mat M_{\mat J} = \begin{bmatrix} m_{ij} \end{bmatrix}$, reliées par la formule (7) de la page précédente : $$m_{kl} = 2\tr(\boldsymbol{\sigma}_k\mat J \boldsymbol\sigma_l\mat{J}^\dagger ) = 2\tr(\mat J \boldsymbol\sigma_l \mat{J}^\dagger\boldsymbol{\sigma}_k) \tag 1$$ et ce sans nous préoccuper des questions de réalisabilité physique. Les seules contraintes que nous envisagerons dans cette page sont celles qui découlent de l'équation (1).

1. Passage de la matrice de Jones à la matrice de Mueller

Soit $$\mat J = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$ une matrice de Jones. Le calcul de la matrice de Mueller correspondante en utilisant la formule (1) est un peu fastidieux mais pas spécialement difficile. Le résultat final est $$\mat M_{\mat J} = \begin{bmatrix} \frac 1 2 (|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2 ) & \frac 1 2 (|a|^2-|b|^2+|c|^2-|d|^2) & {\re (ab^*+cd^* )} & {-\im (ab^*+cd^* )} \\ \frac 1 2 (|a|^2+|b|^2-|c|^2-|d|^2) & \frac 1 2 (|a|^2-|b|^2-|c|^2+|d|^2) & {\re (ab^*-cd^* )} & {-\im (ab^*-cd^* )} \\ {\re (ac^*+bd^* )} & {\re (ac^*-bd^* )} & {\re (ad^*+bc^* )} & {-\im (ad^*-bc^* )} \\ {\im (ac^*+bd^* )} & {\im (ac^*-bd^* )} & {\im (ad^*+bc^* )} & {\re (ad^*-bc^* )} \end{bmatrix}. \tag 2$$ La formule (2) confirme une remarque qu'on avait faite à la page précédente, à savoir que $$\mat M_{\mat J}^T = \mat M_{\mat J^\dagger}.$$

2. Calcul de la matrice de Jones à partir de la matrice de Mueller

Nous voulons maintenant faire le passage dans le sens inverse : retrouver les éléments de $\mat{J}$ à partir de ceux de $\mat M_{\mat J}$. Une constatation s'impose immédiatement : la formule (2) ne nous donne pas directement $a$, $b$, $c$ et $d$, mais plutôt les quantités $|a|^2$, $|b|^2$, … et $ab^*$, $ac^*$, etc. On peut ranger ces résultats dans une matrice hermitienne associée à $\mat M_{\mat J}$ que nous appelerons $\mat H_{\mat J}$ : $$\mat H_{\mat J} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a^* & b^* & c^* & d^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |a|^2 & ab^* & ac^* & ad^* \\ ba^* & |b|^2 & bc^* & bd^* \\ ca^* & cb^* & |c|^2 & cd^* \\ da^* & db^* & dc^* & |d|^2 \end{bmatrix}. \tag 3$$ On notera que cette matrice est, à un facteur positif près, un projecteur sur un sous-espace de dimension 1 de $\mathbb C^4$ : $$\mat H_{\mat J} = (|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2 )\mat P_{\mat J}.$$

En comparant les formules (2) et (3), on voit qu'on peut mettre $\mat H_{\mat J}$ sous la forme $$\mat H_{\mat J} = \dfrac 1 2 \begin{bmatrix} {m_{00}+m_{01}\\+m_{10}+m_{11}} & {m_{02}+m_{12}\\-i( m_{03}+m_{13} )} & {m_{20}+m_{21}\\+i( m_{30}+m_{31} )} & {m_{22}+m_{33}\\+i( m_{32}-m_{23} )} \\ {m_{02}+m_{12}\\+i( m_{03}+m_{13} )} & {m_{00}-m_{01}\\+m_{10}-m_{11}} & {m_{22}-m_{33}\\+i( m_{32}+m_{23} )} & {m_{20}-m_{21}\\+i( m_{30}-m_{31} )} \\ {m_{20}+m_{21}\\-i( m_{30}+m_{31} )} & {m_{22}-m_{33}\\-i( m_{32}+m_{23} )} & {m_{00}+m_{01}\\-m_{10}-m_{11}} & {m_{02}-m_{12}\\+i( -m_{03}+m_{13} )} \\ {m_{22}+m_{33}\\-i( m_{32}-m_{23} )} & {m_{20}-m_{21}\\-i( m_{30}-m_{31} )} & {m_{02}-m_{12}\\-i( -m_{03}+m_{13} )} & {m_{00}-m_{01}\\-m_{10}+m_{11}} \end{bmatrix}. \tag 4$$ La formule (4), quand on la généralise à toutes les matrices réelles $4 \times 4$ $\mat M$, établit une correspon­dance linéaire plus ou moins naturelle $$\mathcal H : \mat M \longmapsto \mat H = \mathcal H (\mat M)$$ entre l'ensemble de ces matrices et l'ensemble des matrices complexes hermitiennes $\mat H$ de même dimension. Cette correspondance, qui est en fait une bijection (voir section 4), jouera un rôle important plus tard.

3. Contraintes sur les matrices de Mueller-Jones

Une matrice réelle $4 \times 4$ quelconque $\mat M$ a 16 paramètres indépendants alors qu'une matrice de Jones $\mat J$, qui est définie à un facteur de phase près, dépend de seulement 7 quantités réelles. Il doit donc y avoir 9 contraintes que doit satisfaire une matrice $\mat M_{\mat J}$ pour être une matrice de Mueller-Jones. Il existe différentes approches pour trouver ces contraintes, qui peuvent varier selon l'approche utilisée. La famille des contraintes au complet, cependant, doit être indépendante de l'approche.

Consistance de la matrice associée HJ

Il est évident que les éléments de la matrice associée $\mat H_{\mat J}$ ne sont pas indépendants : on a tout d'abord 6 contraintes de la forme $$|ab^*| = |a||b|~~\Rightarrow~~\left[ \re \left(ab^* \right) \right]^2 + \left[ \im \left(ab^* \right) \right]^2 = |a|^2|b|^2.$$ En comparant les formules (3) et (4) pour la matrice $\mat H_{\mat J}$, on peut mettre ces contraintes sous la forme $$\begin{array} {l} \left( m_{01} \pm m_{11} \right)^2+\left( m_{02} \pm m_{12} \right)^2+\left( m_{03} \pm m_{13} \right)^2 = \left( m_{00} \pm m_{10} \right)^2, \\ \left( m_{10} \pm m_{11} \right)^2+\left( m_{20} \pm m_{21} \right)^2+\left( m_{30} \pm m_{31} \right)^2 = \left( m_{00} \pm m_{01} \right)^2, \\ \left( m_{01} \pm m_{10} \right)^2+\left( m_{22} \pm m_{33} \right)^2+\left( m_{32} \mp m_{23} \right)^2 = \left( m_{00} \pm m_{11} \right)^2. \end{array}$$ Il existe également 3 contraintes du type $$ab^* \mkern 2mu bc^* = |b|^2ac^*~~\Rightarrow~~\arg(ab^*)+\arg(bc^*)=\arg(ac^*) \mkern 2mu (\pm2 \pi)$$ Ces contraintes sont plus difficiles à exprimer de manière simple en termes des $m_{ij}$ ; on omettra donc le résultat.

Approche liée aux vecteurs de Jones

Il existe une approche complètement différente pour aboutir aux contraintes sur une matrice de Mueller-Jones $\mat M_{\mat J}$ : la matrice doit envoyer des vecteurs de Stokes correspondant à des vecteurs de Jones sur des vecteurs de même nature. Or, on a vu que $\mat s =\begin{bmatrix} s_0 & s_1 & s_2 & s_3 \end{bmatrix}^T$ est un vecteur de Stokes de ce type si et seulement si $$s_0^2-s_1^2-s_2^2-s_3^2 = 0~~\Leftrightarrow~~\mat{s}^T \mkern 1mu \mat G \mkern 2mu \mat s = 0,~\mat G = \diag(1, -1, -1, -1).$$ On doit donc avoir $$\mat{s}^T \mat G \mat s = 0~~\Rightarrow~~(\mat M_{\mat J} \mkern 2mu \mat s)^T \mat G \mat M_{\mat J} \mkern 2mu \mat s = \mat{s}^T \mkern 2mu \mat M_{\mat J}^T \mat G \mat M_{\mat J} \mkern 2mu \mat s = 0.$$ Ceci est seulement possible si la matrice $\mat M_{\mat J}^T \mat G \mat M_{\mat J}$ est un multiple (possiblement nul) de $\mat G$ : $$\mat M_{\mat J}^T \mat G \mat M_{\mat J} = \lambda \mat G~~\Leftrightarrow~~\mat G\mat M_{\mat J}^T \mat G \mat M_{\mat J} = \lambda \mat I.$$ Les contraintes ainsi obtenues ont la forme $$\begin{array} {lll} (\mat M_{\mat J}^T \mat G \mat M_{\mat J})_{ij} = 0~~(0 \le i \lt j \le 3) & \text{et} & (\mat M^T_{\mat J} \mat G \mat M_{\mat J})_{ii} + (\mat M_{\mat J}^T \mat G \mat M_{\mat J})_{00} = 0~~(1 \le i \le 3), \end{array}$$ c'est-à-dire $$m_{0i}m_{0j}-m_{1i}m_{1j}-m_{2i}m_{2j}-m_{3i}m_{3j} = 0~~(0 \le i \lt j \le 3)$$ et $$m_{0i}^2-m_{1i}^2-m_{2i}^2-m_{3i}^2+m_{00}^2-m_{10}^2-m_{20}^2-m_{30}^2 = 0~~(1 \le i \le 3).$$

4. Compléments, notes et références

Matrice transposée

Soit $\mathcal C$ une famille de contraintes. Supposons que satisfaire $\mathcal C$ soit une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice $\mat M$ soit une matrice de Mueller-Stokes. Dans ce cas, $\mat M$ satisfait $\mathcal C$ si et seulement si $\mat M^T$ le fait, puisque $\mat M$ est une matrice de Mueller-Stokes si et seulement si $\mat M^T$ en est une (rappelons que nous ignorons ici les questions de réalisabilité physique).

Bijectivité de la correspondance $\mathcal H$

On peut vérifier que la correspondance $\mat H = \mathcal H (\mat M )$ est inversible. La formule pour $\mat M = \mathcal H^{-1} (\mat H )$ est : $$\mat M = \dfrac 1 2 \begin{bmatrix} h_{00}+h_{11}+h_{22}+h_{33} & h_{00}-h_{11}+h_{22}-h_{33} & h_{01}+h_{23}+h_{10}+h_{32} & {i (h_{01}+h_{23}-h_{10}-h_{32} )} \\ h_{00}+h_{11}-h_{22}-h_{33} & h_{00}-h_{11}-h_{22}+h_{33} & h_{01}-h_{23}+h_{10}-h_{32} & {i (h_{01}-h_{23}-h_{10}+h_{32} )} \\ h_{02}+h_{13}+h_{20}+h_{31} & h_{02}-h_{13}+h_{20}-h_{31} & h_{03}+h_{12}+h_{30}+h_{21} & {i (h_{03}-h_{12}-h_{30}+h_{21})} \\ {-i (h_{02}+h_{13}-h_{20}-h_{31} )} & {-i (h_{02}-h_{13}-h_{20}+h_{31} )} & {-i (h_{03}+h_{12}-h_{30}-h_{21} )} & h_{03}-h_{12}+h_{30}-h_{21} \end{bmatrix}.$$ En fait, cette formule est tout simplement la formule (2) où on a remplacé $|a|^2$ par $h_{00}$, $ab^*$ par $h_{01}$, etc.

Caractérisation des matrices de Mueller-Jones

Une matrice $4 \times 4$ réelle $\mat M$ est une matrice de Mueller-Jones ssi la matrice hermitienne associée $\mat H = \mathcal H (\mat M )$ est un multiple positif d'un projecteur de rang 1. On a donc la caractérisation suivante : Soit $\mat M$ une matrice $4 \times 4$ réelle et soit $\mat H = \mathcal H (\mat M )$ la matrice hermitienne associée. $\mat M$ est une matrice de Mueller-Jones ssi $\tr (\mat H) \gt 0$ et $\mat H^2 = \tr (\mat H) \mkern 3mu \mat H$.

Norme de la matrice de Jones

Il est possible de déduire de la formule (2) et des résultats à la fin des deux pages précédentes que la norme de la matrice de Jones est donnée par la formule plutôt compliquée $$||\mat J|| = \sqrt{\textstyle\frac 1 4 (|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2 )+\sqrt{\textstyle\frac 1 4 (|a|^2-|b|^2+|c|^2-|d|^2)^2+|ab^*+cd^* |^2}}.$$

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