Supposons qu'on connaisse f'(x), la dérivée de la fonction f(x). Comment peut-on calculer la dérivée de f(2x) ?
Traçons le graphe de f(x) (en bleu) et celui de f(2x) (en rouge). On sait que le deuxième s’obtient du premier en effectuant une compression horizontale par un facteur 2.
Lorsqu’on trace les tangentes, celle en vert a une pente égale à f'(2x) et la réponse qu'on cherche, df(2x)/dx, est la pente de la tangente en jaune.
La vidéo nous montre que lorsqu’on effectue la compression du graphe, les tangentes sont comprimées horizontalement par le même facteur 2. La pente de la tangente en jaune est donc le double de celle de la tangente en vert, car Δy/(Δx/2) = 2 Δy/Δx. Ceci qui veut dire que la dérivée de f(2x) est 2f'(2x).
Par le même raisonnement, on conclurait que si a est un nombre non-nul, la dérivée de f(ax) est af'(ax). (C'est vrai aussi si a=0. Pourquoi ?)