On dit que f(c) est un maximum local pour la fonction f s'il existe un intervalle ]a, b[ contenant c tel que f(c) soit supérieur ou égal à f(x) pour tout x dans l'intervalle. Quand on considère le quotient
(f(x)-f(c))/(x-c)
le numérateur sera donc négatif ou nul pour tout x entre a et b, puisque f(x) ≤ f(c). Par contre, le dénominateur sera positif si x est à droite de c et négatif si x est à gauche de c. Donc si les limites à gauche et à droite existent, la première sera supérieure ou égale à zéro et la deuxième inférieure ou égale à zéro. Or les deux doivent être égales pour que la limite f'(c) existe. La seule possibilité, si f est dérivable au point c, est donc que f'(c) soit zéro.
On définit de manière analogue un minimum local et des considérations semblables s'appliquent.
On utilise le mot extrémum pour désigner soit un maximum, soit un minimum et on conclut que si une fonction a un extrémum local f(c), la seule possibilité, si f'(c) existe, est que f'(c)=0. Il existe bien sûr une alternative : que f'(c) n'existe pas, comme par exemple s'il y a un point anguleux dans le graphe.
On dit que c est un point critique de la fonction f si f'(c)=0 ou f'(c) n'existe pas. On peut donc résumer la situation de la manière suivante : si f(c) est un extrémum local, alors c doit être un point critique de la fonction f.
Il y a trois extrémums locaux dans la vidéo et on peut voir que les valeurs de correspondantes de x sont bien des points critiques : dans les deux premiers cas, la dérivée est nulle, dans le troisième, elle n'existe pas.