Le théorème des accroissements finis est un théorème très important sur le plan théorique. Il affirme que si une fonction f(x) est continue sur un intervalle [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe au moins un point c à l’intérieur de l’intervalle où
f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)
c’est à dire tel que
f(b)-f(a) = f'(c)(b-a).
Géométriquement, ce théorème signifie qu’il y a au moins un point c entre a et b tel que la tangente au graphe en (c, f(c)) soit parallèle à la sécante qui passe par les points (a, f(a)) et (b, f(b)). Dans l'animation, la sécante est dessinée en rouge et la (les) tangente(s), en jaune.
Si f(x) est un polynôme de degré deux, il y a un seul point où la thèse du théorème est satisfaite, et c'est le centre de l'intervalle : c = (a+b)/2. Pouvez-vous le démontrer pour f(x) = x2+3x+5 ?