Le cercle trigonométrique

En géométrie, un angle est la figure formée par deux demi-droites de sommet commun. Dans le plan cartésien, on dit que cet angle est en position standard si le sommet est placé à l'origine, avec une des demi-droites superposée au demi-axe x positif, l'autre étant située dans le demi-plan y ≥ 0. Si on trace un cercle de rayon 1 centré à l'origine, on peut identifier l'angle avec l'intersection de la deuxième demi-droite et du cercle, c'est-à-dire avec un point P du demi-cercle supérieur. La mesure θ de l'angle, en radians, est la distance qui sépare sur le cercle les points (1, 0) et P. La longueur de la circonférence étant 2π (2πr avec r = 1), on aura par exemple θ = π/2 pour un angle droit et θ = π pour un angle plat. On définit alors les fonctions trigonométriques cos θ et sin θ respectivement comme les coordonnées x et y de P. Le point étant sur le cercle d'équation x2+y2 = 1, on en déduit l'identité fondamentale de la trigonométrie

cos2θ+sin2θ = 1.

On peut généraliser la situation à des angles de mesure arbitraire en considérant que le point P peut se déplacer comme il le veut sur le cercle trigonométrique, θ étant la distance qu'il a parcouru à partir du point (1, 0). Si P se déplace dans le sens direct (ou antihoraire, c.-à-d. contraire à celui des aiguilles d'une montre), on compte θ positivement; si par contre P se déplace dans le sens opposé (sens horaire), on compte θ négativement. Chaque fois que P fait un tour complet autour de l'origine, θ augmente ou diminue de 2π, selon la direction dans laquelle P se déplace. Dans ce cas, P revient à la même place sur le cercle trigonométrique et aura les mêmes coordonnées. Donc

cos(θ±2π) = cos θ  et  sin(θ±2π) = sin θ.

Remarque : Notez que dans la vidéo, les axes n'ont pas de pointes de flèche. C’est généralement le cas pour les figures obtenues en utilisant un tableur (chiffrier).

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