Objectifs
- Comprendre le théorème de De Morgan, c'est-à-dire la négation d'expressions booléennes contenant un « ET » ou un « OU »;
- Pouvoir mettre en œuvre ce théorème concrètement dans les exercices qui suivent.
Explications
Lorsqu'on a une expression booléenne contenant un « ET » ou un « OU », il est parfois intéressant de savoir ce qui doit se passer dans le cas contraire. On est donc amené, dans ce cas, à devoir trouver l'expression booléenne inverse.
De Morgan s'est penché sur ce problème et en a trouvé la solution. Profitons de ses travaux plutôt que de les redécouvrir.
1. Le cas du « ET »
Comment faire pour trouver l'expression contraire d'une expression booléenne contenant un « ET » ?
Voici un schéma représentant la situation dans le cas où on doit conduire : pour pouvoir conduire, il faut la clé de la voiture « ET » le permis de conduire. Dans quel cas ne peut-on pas conduire ?
La première partie du théorème de De Morgan devient donc :
- L'inverse d'un « ET » est un « OU » dont chaque terme est complémenté (inversé).
2. Le cas du « OU »
Comment faire pour trouver l'expression contraire d'une expression booléenne contenant un « OU » ?
Voici un schéma représentant la situation dans le cas de l'état sec ou humide d'une pelouse : la pelouse est humide s'il pleut « OU » si on l'arrose. Dans quel cas la pelouse est-elle sèche ?
La seconde partie du théorème de De Morgan devient donc :
- L'inverse d'un « OU » est un « ET » dont chaque terme est complémenté (inversé).
À toi de jouer
À toi maintenant d'utiliser concrètement les deux parties de ce théorème et de les mettre en œuvre correctement dans les deux exercices qui suivent.
Bon travail.