Une des activités principales des mathématiciens est de démontrer des théorèmes. La plupart des théorèmes sont de la forme « Si A alors B » où A est l’hypothèse et B la conclusion. Il existe plusieurs techniques de démonstrations et on peut les regrouper en deux catégories, les preuves directes et les preuves indirectes. Une preuve est une suite de raisonnements qui partent de l’hypothèse et qui aboutissent à la conclusion. Ces raisonnements sont fondés sur la logique et sur des résultats déjà connus et bien démontrés.
Une preuve directe part de l’hypothèse A et se dirige par étapes vers la conclusion B. Une preuve indirecte part toujours de A mais utilise un chemin détourné pour se rendre à B. C’est le cas de la preuve par l’absurde. Au lieu de partir de A et démontrer B, on suppose que B est faux. On part donc de A et de la négation de B et on montre que cela nous conduit à un résultat absurde. Puisque la négation de B mène à une absurdité, B doit être vrai et cela conclut la preuve.
Après quelques préliminaires pour préparer la suite, nous utilisons une preuve par l’absurde pour montrer que le nombre √2 est un nombre irrationnel.
Document compagnon : Vous trouverez ici un document qui revient sur quelques concepts vus dans la vidéo.