Plusieurs formules de sommation sont connues. Par exemple :
1+2+3+ … +n = n(n+1)/2
1²+2²+3²+ … +n² = n(n+1)(2n+1)/6
1+(1+2)+(1+2+3)+ … +(1+2+3+ … +n) = n(n+1)(n+2)/6
1+1/3+1/3²+ … +1/3n = (1-1/3n+1)/(1-1/3)
La quatrième de ces sommes est une somme géométrique et les formules pour calculer ces sommes sont connues. Pour les trois premiers exemples, on ne sait pas en général comment trouver ces sommes. Si on connait une formule pour une somme donnée, on peut la vérifier avec une preuve par induction. Une question demeure : comment trouve-t-on ces formules ?
Lorsque les formules sont de nature polynomiale, on peut utiliser les différences finies pour les découvrir. L’idée est basée sur le fait que les polynômes se comportent de la même façon avec les différences finies qu’avec les dérivées. Si la ne différence finie est constante, on sait qu’on a un polynôme de degré n. Trouver les coefficients d’un polynôme est un petit jeu d’algèbre linéaire.
Document compagnon : Vous trouverez ici un document qui revient sur quelques concepts vus dans la vidéo.