Les nombres parfaits

Les nombres parfaits sont les entiers positifs qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs propres (les diviseurs propres d’un entier positif sont tous ses diviseurs positifs sauf lui-même). Par exemple les diviseurs propres de 6 sont 1, 2 et 3 et on a bien 6 = 1+2+3, donc 6 est un nombre parfait.

En 300 av J. C. Euclide a montré que si p et 2^p-1 sont simultanément premiers, alors le nombre (2^p-1)2^p-1 est un nombre parfait.

Au 18^e siècle, soit plus de 2000 ans plus tard, Euler a montré la réciproque du théorème d’Euclide : tous les nombres parfaits pairs sont de la forme (2^p-1)2^p-1 avec p et 2^p-1 simultanément premiers.

Par ailleurs, en raison de la grande facilité pour démontrer leur primalité, le plus grand nombre premier connu est toujours de la forme 2^p-1, on les appelle les nombres premiers de Mersenne. Cela veut donc dire qu’à chaque fois qu’un nouveau nombre de Mersenne est découvert, un nouveau nombre parfait est découvert. Nous en sommes à 49 seulement, le plus grand est un nombre de plus de 44 millions de chiffres.

Document compagnon : Vous trouverez ici un document qui revient sur quelques concepts vus dans la vidéo.