La compréhension des nombres réels ne s’est pas faite rapidement. L’école de Pythagore considérait que tout est nombre et par nombres elle entendait nombres entiers ou rationnels. La découverte des nombres irrationnels, probablement par un membre de cette école pythagoricienne, a causé un choc dans le monde mathématique de l’époque. Non seulement il fallait refaire plusieurs démonstrations qui reposaient sur l’hypothèse qu’étant donnés deux nombres, leur rapport est toujours rationnel, mais il a fallu définir et comprendre ces nouveaux nombres. Nous discuterons brièvement de trois étapes de cette démarche de compréhension de l’ensemble des nombres réels.
- Les travaux d’Eudoxe et les écrits d’Euclide vont traiter des nombres irrationnels et des magnitudes qui peuvent représenter des mesures géométriques mais dont on ne savait pas trop si c’étaient des nombres. On va ainsi régler la crise des irrationnels et apprendre à travailler avec les quantités irrationnelles.
- Le mathématicien flamand Simon Stevin va identifier correctement l’ensemble des nombres réels à l’ensemble des représentations décimales. Sa vision va peu à peu s’imposer au cours des deux siècles suivants.
- Les mathématiciens de la fin du 19e siècle vont définir correctement comment construire les nombres réels. Nous discuterons brièvement des coupures de Dedekind, à la base de la construction des nombres réels. La construction de Dedekind permet de construire les réels à partir des rationnels, eux-mêmes construits à partir des entiers.
Document compagnon : Vous trouverez ici un document qui revient sur quelques concepts vus dans la vidéo.