Voici un court rappel sur les équations de Maxwell-Lorentz dans le vide et dans la matière.
Dans le système international (SI), les équations de Maxwell-Lorentz dans le vide ont la forme $$\begin{array} {ll }\nabla \cdot \eps_0 \vec{E} = \rho & \nabla \times \dfrac{1}{\mu_0}\vec{B} - \dfrac{\partial \eps_0 \vec{E}}{\partial t} = \vec{J} \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 & \nabla \times \vec{E}+\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} =0 \end{array}$$ où le champ électrique $\vec{E}$ et l’induction magnétique $\vec{B}$ sont, tout comme la densité de charge $\rho$ et le courant $\vec{J}$, fonction de la position $\vec{x}$ et du temps $t$. Deux constantes interviennent dans les équations : la perméabilité magnétique du vide $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}$ et la permittivité (diélectrique) du vide $\eps_0 = \dfrac{10^7} {4 \pi c^2}$.
Ces équations sont complétées par la loi de conservation de la charge $$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J} = 0.$$
Les équations de Maxwell-Lorentz forment un système d’équations aux dérivées partielles linéaires inhomogènes du premier ordre. Une conséquence fondamentale de ce fait est qu’on peut superposer des solutions dues des sources séparées $\rho_i$, $\vec{J}_i$ et obtenir une solution pour la source totale. On peut également ajouter à une solution donnée n’importe quelle solution des équations homogènes (c.-à-d. avec $\rho = 0$ et $\vec{J} = 0$) et garder une solution du système.
Les milieux matériels sont formés d’atomes consistant chacun en un noyau positif et un certain nombre d’électrons négatifs. Dans les diélectriques, tous les électrons de chaque atome $i$ restent localisés en un nuage près du noyau. Lorsqu’on applique un champ électrique, le nuage se déforme, donnant lieu à une source qu’en première approximation on peut modéliser comme un dipôle ponctuel : $$\rho_{i} = -\vec{p}_i \cdot \nabla \delta (\vec{x}-\vec{x}_i),~~\vec{J}_{i}=\dfrac{d \vec{p}_i}{dt} \delta (\vec{x}-\vec{x}_i).$$
Au niveau macroscopique, le phénomène résulte en une polarisation $\vec{P} \approx \sum \vec{p}_i \delta (\vec{x}-\vec{x}_i)$ qui génère la densité de charge et le courant de polarisation $$\rho_{pol} = -\nabla \cdot\vec{P},~~\vec{J}_{pol}=\dfrac{\partial \vec{P}}{\partial t}.$$
Dans les métaux, au contraire, une partie des électrons des atomes peut se déplacer librement dans le matériau. En présence d’un champ électrique, ils sont à la fois accélérés par le champ et freinés par les collisions avec les atomes. Il en résulte généralement un courant proportionnel au champ : $$\vec{J}= \sigma \vec{E}.$$ Cette relation (où $\sigma$ est la conductivité) s’appelle la loi d’Ohm.
Dans certains matériaux, dits magnétiques, on peut aussi avoir un phénomène appelé magnétisation¹ (notée $\vec{M}$) qui génère un courant de magnétisation selon la formule $$\vec{J}_{mag} = \nabla \times \vec{M}.$$
¹ Nous n’insistons pas sur ce phénomène car dans la suite nous nous limiterons aux milieux non magnétiques (voir plus bas).
Dans un milieu matériel, les deux premières équations de Maxwell-Lorentz sont donc de la forme $$\begin{array} {l} \nabla \cdot \eps_0 \vec{E} = \rho_{pol}+\rho \\ \nabla \times \dfrac{1}{\mu_0}\vec{B} - \dfrac{\partial \eps_0 \vec{E}}{\partial t} = \vec{J}_{pol}+\vec{J}+\vec{J}_{mag} \end{array}$$ où $\rho$ et $\vec{J}$ sont la densité de charge et le courant générés par les charges libres. Ces équations peuvent se réécrire $$\begin{array} {l} \nabla \cdot \eps_0 \vec{E}+\nabla \cdot\vec{P} = \rho \\ \nabla \times \dfrac{1}{\mu_0}\vec{B}-\nabla \times \vec{M} - \dfrac{\partial \eps_0 \vec{E}}{\partial t}-\dfrac{\partial \vec{P}}{\partial t} = \vec{J}. \end{array}$$ Si on définit le déplacement (ou induction) électrique $\vec{D}$ et le champ magnétique $\vec{H}$ par les formules
$$\vec{D} = \eps_0 \vec{E}+\vec{P}$$ et $$\vec{H} = \dfrac{1}{\mu_0}\vec{B}- \vec{M},$$ les équations de Maxwell-Lorentz prennent alors la forme beaucoup plus simple
Dans le suite, sauf mention explicite du contraire, nous nous limiterons aux milieux non magnétiques linéaires, c.-à-d. les milieux où $\vec{M} = 0$ (et donc $\vec{H} = \dfrac{1}{\mu_0}\vec{B}$ ) et où la relation entre $\vec{D}$ et $\vec{E}$ est linéaire. Dans ces milieux, les propriétés de linéarité mentionnées à la section 1 restent valides.
La référence classique en électromagnétisme est (ou du moins, de mon temps, était) : John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons, Inc. 1962. (Il existe des éditions plus récentes.) Je consulte aussi de temps en temps Leonard Eyges. The Classical Electromagnetic Field. Addison-Wesley Publishing Company. 1972.
Il y a une grande pression au Canada pour qu’on utilise le système SI. Il est parfait pour faire de l’électrotechnique, mais pour ce qui est de l’optique physique ou de la mécanique quantique, je préfère de loin le système gaussien.