Problème #1 : Une échelle de longueur L est appuyée contre un mur. Si l'échelle commence à glisser sur le plancher, il y a forcément une relation entre la vitesse à laquelle le bas de l'échelle s'éloigne du mur et la vitesse à laquelle le haut de l'échelle se rapproche du plancher. Peut-on exprimer une de ces deux vitesses en fonction de l'autre ?
Problème #2 : De l’eau s’écoule d’un réservoir de forme et dimension connues à travers un robinet. Peut-on établir le lien entre la vitesse à laquelle le niveau d’eau baisse dans le réservoir et le débit du robinet ?
Ces problèmes sont deux exemples de ce qu’on appelle des problèmes de taux de variation liés. Pour illustrer la démarche à suivre pour résoudre ce type de problème, attaquons nous au premier.
• La première étape consiste à identifier les variables du problème : dans le cas de l’échelle, ce sont la distance du bas de l’échelle au mur (appelons-la x) et la distance du haut de l’échelle au plancher (appelons-la y). Ces deux variables dépendent d’une même variable indépendante qui est le temps t et nous cherchons à exprimer y'(t) en fonction de x'(t) ou vice-versa.
• La deuxième étape consiste à établir la relation qui existe entre ces deux variables. Dans notre cas, en supposant le plancher horizontal et le mur vertical, elles sont reliées par le théorème de Pythagore :
[x(t)]2+[y(t)]2 = L2
(si vous ne voyez pas ceci tout de suite, faites un croquis : un dessin peut aider énormément à visualiser ce type de problème).
• Troisième étape : si les deux membres de l’équation sont égaux pour toutes les valeurs de t, alors leurs dérivées par rapport à t doivent être égales. Dérivons donc :
2x(t)x'(t)+2y(t)y'(t) = 0
(évidemment, la dérivée du second membre est nulle, puisque la longueur de l’échelle est constante).
• Dernière étape : si nous supposons par exemple que x et x' sont connus et que nous cherchons y', il suffit de résoudre :
y'(t) = -x(t)x'(t)/y(t).
et d’exprimer y en fonction de x. Par exemple, pour une échelle de 5 mètres, si à un instant donné on a x = 3 m, le théorème de Pythagore donne y = 4 m. Si à cet instant dx/dt = 2 m/s, alors dy/dt = -3·2/4 m/s = -1.5 m/s.
En pratique, pour avoir des expressions plus compactes, tout comme pour la dérivation implicite, on omettra d’indiquer explicitement la dépendance de x et de y par rapport au temps. Nos équations s'écriront donc simplement
x2+y2 = L2,
2xx'+2yy' = 0
et
y' = -xx'/y.