Le « théorème du sandwich »

On a montré que la fonction

g(x) = cos(π/x)

n'a pas de limite quand x tend vers 0. Par contre, si on regarde la fonction

h(x) = x2cos(π/x)

la situation est completement différente : puisque le cosinus est compris entre -1 et 1, on a -x2 ≤ h(x) ≤ x2. Étant donné que -x2 et x2 tendent touts les deux vers 0 quand x→0, d'après le « théorème du sandwich », la limite de h(x) doit aussi être 0. Ceci est confirmé par un zoom horizontal du graphe, en bleu (les courbes en bleu pâle sont y = x2 et y = -x2) :

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