On a vu que si une fonction est continue par morceaux sur un intervalle $[a, b]$, elle est intégrable sur cet intervalle. Donc, la fonction ne doit pas nécessairement être continue : elle peut faire des sauts. Mais que se passe-t-il si la fonction présente des discontinuités plus sévères, par exemple si elle tend vers l'infini en un point de l'intervalle ? Cette question conduit à examiner un deuxième type d'intégrale impropre.
Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $]a, b]$ qui possède une discontinuité en $x=a$. Il peut être possible de définir l'intégrale de cette fonction sur $[a, b]$ de la manière suivante :
Définition 1. On définit $$\int_{a}^{b} f(x)~dx = \lim_{t\to a^+} \int_{t}^{b} f(x)~dx$$ si la limite existe, auquel cas on dit que l'intégrale converge (sinon on dit qu'elle diverge).
Remarque 1. De nouveau, on qualifie cette intégrale d'impropre pour signaler qu'il s'agit d'une définition élargie par rapport à la définition originale.
Problème 1. Montrez que l'intégrale impropre $$I = \int_{0}^{1} \frac {1}{\sqrt{x}}~dx$$ converge et calculez sa valeur.
Solution : On a $$I = \lim_{t\to 0^+} \int_{t}^{1} \frac {1}{\sqrt{x}}~dx = \lim_{t\to 0^+} \left[ 2\sqrt{x} \right]_t^1 = 2.$$
Définition 2. On définit l'intégrale $\int_{a}^{b} f(x)~dx$ de manière analogue si la discontinuité de $f$ est située à l'extrémité droite de l'intervalle.
Si la fonction a une discontinuité en un point $c$ situé à l'intérieur de l'intervalle, on pose
$\int_{a}^{b} f(x)~dx=\int_{a}^{c} f(x)~dx+\int_{c}^{b} f(x)~dx$
pourvu que les deux intégrales impropres convergent. Ceci se généralise au cas où il y a plusieurs discontinuités.
Problème 2. Montrez que l'intégrale impropre
$$I = \int_{-1}^{8} x^{-2/3}~dx$$ converge et calculez sa valeur.
Solution : On peut décomposer $I$ en $$I = I_1+I_2$$ où $$\begin{split} I_1 & = \int_{-1}^{0} x^{-2/3}~dx = \lim_{t\to 0^-} \int_{-1}^{t} x^{-2/3}~dx \\ & = \lim_{t\to 0^-} \big[ 3x^{1/3} \big]_{-1}^t =3 \end{split}$$ et $$\begin{split}I_2 & = \int_{0}^{8}x^{-2/3}~dx = \lim_{t\to 0^+} \int_{t}^{8} x^{-2/3}~dx \\ & = \lim_{t\to 0^+} \big[ 3x^{1/3} \big]_t^8 = 6 \end{split}.$$
Puisque les intégrales impropres $I_1$ et $I_2$ convergent toutes les deux, on peut affirmer que $I$ converge et que $$I = I_1+I_2 = 3+6 = 9.$$
Si une fonction continue $f(x)$ tend par exemple vers l'infini à une des bornes d'intégration, il se peut qu'elle soit intégrable si elle ne tend pas « trop vite » vers l'infini (voir le problème 1). On a le résultat suivant, dont la preuve est laissée en exercice :
Proposition 1. Pour $\alpha$ positif, l'intégrale impropre $$ \int_0^1 \dfrac {1}{x^\alpha}~dx$$ converge si et seulement si $\alpha < 1$.
On notera qu'on peut établir pour les intégrales impropres de ce type-ci des théorèmes de comparaison analogues à celui vu à la page précédente.
Il est possible d'avoir des situations plus complexes, par exemple si on veut intégrer sur un intervalle infini $[a, \infty[$ une fonction $f$ qui possède une discontinuité en $x=a$. Pour définir une telle intégrale, il faut ch0isir une valeur $c>a$, décomposer l'intégrale en deux intégrales impropres, une de $a$ à $c$ et l'autre de $c$ à l'infini, dont il
faut étudier la convergence séparément. Si les deux convergent, on définira l'intégrale de départ comme leur somme :
$\int_{a}^{\infty} f(x)~dx=\int_{a}^{c} f(x)~dx+\int_{c}^{\infty} f(x)~dx$
(Le résultat, dans ce cas, ne dépendra pas du point $c$ choisi.)
À venir.