Primitives

On verra dans la section suivante comment calculer les intégrales en utilisant les primitives, que nous allons définir ici.

1 Primitives

Définition 1. Soient $I$ un intervalle ouvert, $f$ et $F$ deux fonc­tions définies sur $I$. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ si $f$ est la dérivée de $F$ sur $I$.

Exemple 1. $\frac {1} {4} x^4$ est une primitive de $x^3$ sur $\mathbb{R}$ puisque pour tout $x$, on a $\left(\frac {1} {4} x^4\right)'=x^3$ ; $ \frac {1} {4} x^4 +5$ est également une primitive de $x^3$ sur $\mathbb{R}$ puisqu'on a aussi $\left(\frac {1} {4} x^4 +5\right)'=x^2$.

Remarque 1. Si $F$ est une primitive de $f$ et si $C$ est une constante, alors $G = F+C$ sera aussi une primitive de $f$ sur le même intervalle ouvert, puisque

$G'(x) = \left(F(x)+C\right)' = F'(x)$.

En fait, toutes les primitives d'une fonction donnée $f$ s'obtiennent de cette manière :

Théorème 1. Soit $f$ une fonction définie sur un inter­valle ouvert $I$ et soit $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. Si $G$ est une autre primitive de $f$ sur le même intervalle, alors il existe une constante $C$ telle que

$G(x)=F(x)+C$, $\forall x \in I$.

Preuve : Si $F$ et $G$ sont deux primitives de la fonction $f$, on aura

$\dfrac{d}{dx} \left(G(x)-F(x)\right) = G'(x)-F'(x) = 0$.

sur l'intervalle $I$. D'après le théorème des accrois­sements finis, $\forall a$, $b \in I$, on doit avoir

$G(b)-F(b)-\left(G(a)-F(a)\right) = 0(b-a) = 0$.

Il doit donc exister une constante $C$ telle que

$G(x)-F(x) = C$, $\forall x \in I$

Les résultats suivants sont une conséquence directe des propriétés des dérivées :

Proposition 1. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un même inter­valle ouvert $I$ et soit $c$ une constante.

  1. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $cF$ est une primitive de $cf$ sur $I$ ;
  2. Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$ sur $I$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$.

Finalement, voici une courte table des primitives les plus courantes :

Primitives les plus courantes

Fonction Primitive
$x^n$ ($n \ne -1)$ $\dfrac {x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac {1}{x}$ $\ln |x|$
$e^x$ $e^x$
$\sin x$ $-\cos x$
$\cos x$ $\sin x$
$\dfrac {1}{\cos^2 x}$ $\text{tg}~x$
$\dfrac {1}{\sin^2 x}$ $-\text{cotg}~x$
$\dfrac {1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\text{arcsin}~x$
$\dfrac {1}{1+x^2}$ $\text{arctg}~x$

2 Vidéos

Vidéo #1. Les primitives I.
Vidéo #2. Les primitives II.

3 Exercices

Exercice 1. Calculez une primitive de chacune des fonctions suivantes :

a) $x^2+5x+7$; b) $(x+1)^2$;
c) $\dfrac{x^3+x^2}{x}$; d) $\dfrac{x+2}{\sqrt{x}}$.

Remarque 2. On sait que si $f(x)$ est la dérivée de $F(x)$, alors pour $a \in \mathbb{R}$, la dérivée de $F(ax)$ sera $af(ax)$. Donc, si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$ et si $a \ne 0$, $\dfrac{1}{a}F(ax)$ sera une primitive de $f(ax)$ car

$\dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{a} F(ax) = \dfrac{a}{a} F'(ax) = f(ax)$.

Exercice 2. Utilisez la remarque 2 pour calculer une primitive de chacune des fonctions

a) $(5x)^6$; b) $\dfrac{1}{4x}$;
c) $\sqrt{9x}$; d) $\sqrt[3]{8x}$.

Auriez-vous pu obtenir vos réponses autrement ?

Exercice 3. Calculez une primitive de chacune des fonctions suivantes :

a) $\cos(3x)-\sin(2x)$; b) $e^x+2e^{-x}+3e^{2x}$;
c) $\dfrac{1}{\sqrt{1-4x^2}}$; d) $\dfrac{1}{x^2+9}$.
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