$\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}$ $\newcommand{\fvec}[1]{\vec{\tilde{#1}}}$ $\newcommand{\frho}{\tilde{\rho}}$ $\newcommand{\reels}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\eps}{\varepsilon}$

Transformation de Fourier

La transformation de Fourier est un outil mathématiqe fondamental pour l’étude des équations différentielles et équations aux dérivées partielles linéaires.

1. Définition

Fresnel
Joseph Fourier (1768-1830).

Considérons un ensemble $\mathcal{S}$ de fonctions du temps ayant un très bon compor­tement, qui

  1. sont indéfiniment dérivables ;
  2. ainsi que leurs dérivées, tendent rapidement vers zéro quand $t \to \pm \infty$.

On peut associer à chacune de ces fonctions $\varphi(t)$ une transformée de Fourier $\tilde{\varphi}(\omega)$ par la formule $$\tilde{\varphi}(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(t)e^{i \omega t}~\dif t.$$

On peut montrer que $\tilde{\varphi}(\omega)$ est une fonction de $\mathcal{S}$ et qu’on retrouve la fonction de départ $\varphi(t)$ en appliquant à $\tilde{\varphi}(\omega)$ la transformation de Fourier inverse

$$\varphi(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\varphi}(\omega)e^{-i \omega t}~\dif \omega.$$

Remarque 1. On utilisera les notations $$\tilde{\varphi}(\omega) = \mathcal{F}_+ \{ \varphi(t) \},~~\varphi(t)= \mathcal{F}_- \{ \tilde{\varphi}(\omega) \}.$$

Remarque 2. On notera que ces formules pour $\mathcal{F}_+$ et $\mathcal{F}_-$ sont symé­triques sauf pour le signe $-$ qui apparait dans l’expo­nen­tielle pour $\mathcal{F}_-$. On aurait pu tout aussi bien mettre le $-$ dans la définition de la transformation de Fourier et ne pas mettre de $-$ pour la transformée inverse. En fait, c’est exactement le choix qu’on fera plus tard lorsqu’on définira la transformation de Fourier par rapport aux variables spaciales.

Remarque 3. Une fois la transformation de Fourier définie pour les fonctions de $\mathcal{S}$, il est possible d’étendre le concept à l’ensemble des distributions tempérées $\mathcal{S’}$. Les distributions tempérées contiennent entre autres les ondes monochromatiques (qui ne sont pas intégrables) et les fonctions $\delta$ de Dirac (qui ne sont pas des fonctions).

2. Propriétés

La transformation de Fourier a beaucoup de propriétés remarquables. En voici quelques unes. Nous démon­trerons seulement les plus simples.

Propriété 1. La transformation de Fourier est linéaire : $$\mathcal{F}_{\pm} \{ \alpha\varphi(t)+\beta\psi(t) \}=\alpha\mathcal{F}_{\pm} \{ \varphi(t) \}+\beta\mathcal{F}_{\pm} \{ \psi(t) \}.$$

Preuve : Ce résultat est une conséquence directe de la définition et de la linéarité des intégrales.

Propriété 2. Si $\tilde{\varphi}(\omega) = \mathcal{F}_+ \{ \varphi(t) \}$ et $\tilde{\psi}(\omega) = \mathcal{F}_+ \{ \psi(t) \}$, alors $$\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\varphi^*}(\omega) \tilde{\psi}(\omega)~\dif \omega = \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^*(t) \psi(t)~\dif t.$$

Cette propriété porte le nom d’égalité de Parseval.

Propriété 3. Si la fonction $\varphi(t)$ est réelle, on doit avoir $$\tilde{\varphi}(-\omega) = \tilde{\varphi^*}(\omega).$$

Preuve : Ceci résulte de la définition et du fait que $\left( e^{i \omega t} \right)^* =e^{-i \omega t}$.

Propriété 4. $\mathcal{F}_+ \{ \varphi(t-a) \}=e^{i\omega a}\mathcal{F}_+ \{ \varphi(t) \}$.

Preuve : Le changement de variable $t-a = \tau$ $\Leftrightarrow$ $t = \tau +a$ donne $$\sqrt{2 \pi} \mathcal{F}_+ \{ \varphi(t-a) \} = \int_{-\infty}^{\infty}\varphi(t-a)e^{i \omega t}~\dif t =\\ \int_{-\infty}^{\infty}\varphi(\tau)e^{i \omega (\tau +a)}~\dif \tau = e^{i\omega a} \int_{-\infty}^{\infty}\varphi(\tau)e^{i \omega \tau}~\dif \tau =\\ e^{i\omega a}\sqrt{2 \pi}\mathcal{F}_+ \{ \varphi(t) \}.$$

Remarque 1. Une propriété similaire existe pour la transformée inverse $\mathcal{F}_-$.

Propriété 5. Si $k>0$ et $\tilde{\varphi}(\omega) = \mathcal{F}_+ \{ \varphi(t) \}$, alors $$\mathcal{F}_+ \{ \varphi(kt) \}=\dfrac{1}{k}\tilde{\varphi}(\omega/k).$$

Preuve : Le changement de variable $kt = \tau$ $\Leftrightarrow$ $t = \tau/k$ avec $\dif t = \dif \tau/k$ donne $$\mathcal{F}_+ \{ \varphi(kt) \} = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(kt)e^{i \omega t}~\dif t =\\ \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(\tau)e^{i \omega \tau/k}~\dfrac{1}{k} \dif \tau = \dfrac{1}{k}\tilde{\varphi}(\omega/k).$$

Remarque 2. Si $k$ est négatif, il faut remplacer le résultat par $\mathcal{F}_+ \{ \varphi(kt) \} = \dfrac{1}{|k|}\tilde{\varphi}(\omega/k).$

Remarque 3. Une propriété similaire existe aussi pour la transformée inverse $\mathcal{F}_-$.

Propriété 6. Si $\mathcal{F}_+ \{ \varphi(t) \} = \tilde{\varphi}(\omega)$, alors $$\mathcal{F}_+ \{ \varphi’(t) \} = -i\omega \tilde{\varphi}(\omega).$$

Preuve : Une intégration par parties donne $$\begin{split} \sqrt{2 \pi} \tilde{\varphi}(\omega) & = \int_{-\infty}^{\infty}\varphi’(t)e^{i \omega t}~\dif t \\ & = \left[ \varphi(t)e^{i \omega t} \right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(t)\left( e^{i \omega t} \right)’~\dif t \\ & = -i \omega \int_{-\infty}^{\infty}\varphi(t)e^{i \omega t}~\dif t = \sqrt{2 \pi} \left( -i \omega \tilde{\varphi}(\omega) \right). \end{split}$$

Propriété 7. Si $\tilde{\varphi}(\omega) = \mathcal{F}_+ \{ \varphi(t) \}$ et $\tilde{\psi}(\omega) = \mathcal{F}_+ \{ \psi(t) \}$, alors $$\tilde{\varphi}(\omega) \tilde{\psi}(\omega) = \mathcal{F}_+ \left\{ \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\tau) \psi(t-\tau)~\dif \tau \right\}.$$

3. Exemples

Voici quelques exemples. Nous commen­cerons avec des fonctions intégrables, pour lesquelles l’intégrale de la définition converge.

Fonctions intégrables

Tout d’abord, un exemple avec une fonction de $\mathcal{S}$ :

Exemple 1. Si $\alpha > 0$, $\mathcal{F}_+ \{ e^{-\alpha^2 t^2 / 2} \}=\dfrac{1}{\alpha}e^{- \omega^2 / 2 \alpha^2}$.

Les deux exemples qui suivent font inrervenir des fonctions qui ne sont pas dans $\mathcal{S}$ mais qui sont intégrables.

Exemple 2. Si $\vartheta(t)= \begin{cases} 1 & \text{si } a \le t \lt b \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$, alors $$\tilde{\vartheta}(\omega)=\dfrac{i}{\sqrt{2\pi}}\dfrac{e^{i\omega a}-e^{i\omega b}}{\omega}.$$

Exemple 3. Si $k > 0$, $\mathcal{F}_+ \left\{ \dfrac{k}{t^2+k^2} \right\}=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}e^{- k |\omega |}$.

Distributions tempérées

Le premier exemple de distribution tempérée met en jeu une fonction qui n’est pas intégrable et pour laquelle l’intégrale de la définition ne converge pas.

Exemple 4. La fonction de Heaviside $H(t)$ est définie par $$H(t)=\begin{cases} 0 & \text{si } t \lt 0 \\ 1 & \text{si } t \ge 0. \end{cases}$$

Sa transformée de Fourier est¹ $$\tilde{H}(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\dfrac{i}{\omega}+\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \delta(\omega).$$

Remarque 1. Notez que ce résultat est consistant avec l’exemple 2, où on a $f(t)=H(t-a)-H(t-b)$.

Le deuxième exemple fait intervenir une distribution tempérée qui n’est pas une fonction : la « fonction » $\delta$ de Dirac :

Exemple 5. La fonction (plus exactement la distribution) $\delta$ de Dirac est formellement définie par $$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \varphi(t) \dif t = \varphi(0)$$ pour $\forall \varphi \in \mathcal{S}$. Sa transformée de Fourier est $$\tilde{\delta}(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}.$$

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¹ La distribution tempérée $\dfrac{1}{\omega}$ est à interpréter comme suit : son action sur une fonction $\tilde{\varphi}(\omega)$ est donnée par la partie principale $$\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\tilde{\varphi}(\omega)}{\omega} \dif \omega = \lim_{\epsilon \to 0} \left(\int_{-\infty}^{-\epsilon} \dfrac{\tilde{\varphi}(\omega)}{\omega} \dif \omega+\int_{\epsilon}^{\infty} \dfrac{\tilde{\varphi}(\omega)}{\omega} \dif \omega \right).$$

4. Notes et références

Joseph Fourier a introduit les séries trigonométriques qui portent son nom en 1807. La transfor­mation de Fourier, qui est venue plus tard, est couverte dans nombre de traités de physique mathématique. Une référence possible est : Eugene Butkov. Mathematical Physics. Addison-Wesley Publishing Company. 1968. (Cette référence ne fait pas l’unanimité : certains aiment, d’autres pas du tout.)

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