$\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}$ $\newcommand{\fvec}[1]{\vec{\tilde{#1}}}$ $\newcommand{\ffvec}[1]{\vec{\hat{#1}}}$ $\newcommand{\frho}{\tilde{\rho}}$ $\newcommand{\reels}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\eps}{\varepsilon}$

Champs statiques et harmoniques

1. Décomposition en composantes de Fourier

On peut utiliser la transformation de Fourier avec tous les champs qui apparaissent dans les équations de Maxwell-Lorentz. Si on prend le champ électrique, par exemple, on aura $$\vec{E}(\vec{x}, t) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\fvec{E}(\vec{x}, \omega)e^{-i \omega t}~\dif \omega$$ où, puisque le champ électrique est réel, $$\fvec{E}(\vec{x}, -\omega) = \left[ \fvec{E}(\vec{x}, \omega) \right]^*.$$

On voit donc qu'au facteur $1/\sqrt{2 \pi}$ près, $\vec{E}(\vec{x}, t)$ peut être considéré comme une superposition d'un champ statique réel $$\fvec{E}(\vec{x}, 0)$$ pour $\omega = 0$ et de champs harmoniques de la forme

$$\fvec{E}(\vec{x}, \omega)e^{-i \omega t}+\fvec{E}(\vec{x}, -\omega)e^{i \omega t} = \fvec{E}(\vec{x}, \omega)e^{-i \omega t}+ \\ \left[ \fvec{E}(\vec{x}, \omega)e^{-i \omega t} \right]^* = 2 \text{Re} \left[ \fvec{E}(\vec{x}, \omega) e^{-i \omega t}\right]$$ pour $\omega \ne 0$.

Si on prend la transformée de Fourier du système d'équations de Maxwell-Lorentz au complet, en supposant qu'on peut permuter les dérivées partielles par rapport aux variables spatiales et l'intégration par rapport au temps, on obtient $$\begin{array} {ll }\nabla \cdot \fvec{D} = \frho & \nabla \times \fvec{H} + i\omega \fvec{D} = \fvec{J} \\ \nabla \cdot \fvec{B} = 0 & \nabla \times \fvec{E}-i \omega \fvec{B} =0. \end{array}$$

Si on effectue la même opération avec la loi de conservation de la charge, le résultat est $$-i \omega \tilde{\rho}+\nabla \cdot \fvec{J} = 0.$$

2. Champs statiques

Pour les champs statiques, les équations de Maxwell-Lorentz prennent la forme $$\begin{array} {ll}\nabla \cdot \vec{D} = \rho & \nabla \times \vec{H} = \vec{J} \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 & \nabla \times \vec{E} =0 \end{array}$$ où on a omis les tildes pour simplifier la notation.

Ces équations se divisent naturellement en deux ensembles de deux équations qu'on peut étudier séparément.

Électrostatique

Les lois qui font intervenir les grandeurs électriques sont $$\begin{array} {l }\nabla \cdot \vec{D} = \rho & \nabla \times \vec{E} =0. \end{array}$$ Remarquons que ces équations stationnaires peuvent seulement se présenter dans des milieux non conducteurs (diélectriques). Remarquons aussi que pour pouvoir les résoudre, il faut obtenir une relation entre $\vec{D}$ et $\vec{E}$. Dans

la majorité des diélectriques, le lien est fourni par la relation linéaire phénoménologique $$\vec{D} = \eps \vec{E}$$ où $\eps$ est une quantité réelle appelée permittivité diélectrique du matériau.

Magnétostatique

Avec notre hypothèse de se limiter aux milieux non magnétiques, les deux autres lois de Maxwell-Lorentz stationnaires sont $$\begin{array} {l } \nabla \times \vec{H} = \vec{J} & \nabla \cdot \vec{B} = 0 . \end{array}$$ où $\vec{B}$ et $\vec{H}$ sont reliés par la relation $\vec{H} = \dfrac{1}{\mu_0}\vec{B}$.

À noter que la première de ces deux lois implique la loi de conservation de la charge pour les courants station­naires, $\nabla \cdot \vec{J} = 0$, étant donné que $\nabla \cdot \left( \nabla \times \vec{H} \right) = 0$.

3. Champs harmoniques

Passons maintenant aux composantes de Fourier des champs avec $\omega \ne 0$. Si on prend le gradient de la deuxième équation, puisque le gradient d'un rotationnel donne 0, on obtient $$i\omega \nabla \cdot \fvec{D} = \nabla \cdot \fvec{J} = i \omega \frho ~\Rightarrow~ \nabla \cdot \fvec{D} = \frho$$ où on a tenu compte de la loi de conservation de la charge. De la même manière, si on prend le gradient de la quatrième équation, on obtient $$i\omega \nabla \cdot \fvec{B} = 0 ~\Rightarrow~ \nabla \cdot \fvec{B} = 0.$$

Donc, pour les champs harmoniques, on a seulement besoin de résoudre les deux équations $$\begin{array} {ll }& \nabla \times \fvec{H} + i\omega \fvec{D} = \fvec{J} \\ & \nabla \times \fvec{E}-i \omega \fvec{B} =0 \end{array}$$

avec la loi de conservation de la charge : les deux autres équation seront automatiquement satisfaites.

Pour obtenir la solution, il faut connaître le lien entre $\fvec{H}$ et $\fvec{B}$ ainsi qu'entre $\fvec{D}$ et $\fvec{E}$. Comme on sait déjà, dans les milieux non mag­né­tiques, on a $\fvec{H} = \dfrac{1}{\mu_0}\fvec{B}$. Dans les milieux homogènes linéaires et isotropes, il existe une relation phéno­méno­logique similaire entre $\fvec{D}$ et $\fvec{E}$ : $$\fvec{D}(\vec{x}, \omega) = \eps(\omega) \fvec{E}(\vec{x}, \omega)$$ où la permittivité diélectrique $\eps(\omega)$ est une fonction de la fréquence qui est mesurée expérimentalement. À noter que les champs $\vec{D}(\vec{x}, t)$ et $\vec{E}(\vec{x}, t)$ étant tous les deux réels, on doit bien sûr avoir $$\eps(-\omega) = \eps^*(\omega).$$

4. Notes et références

C'est difficile de donner des références pour cette page-ci, car généralement on parle de champs harmoniques sans faire mention de la transformation de Fourier. La relation $\eps(-\omega) = \eps^*(\omega)$ peut alors être un peu laborieuse à établir, alors qu'ici elle est toute naturelle. À noter que dans le domaine de l'optique, on définit souvent les champs harmoniques comme des champs de la forme $\text{Re} \left( \vec{E} e^{i \omega t}\right)$. Dans ce cas, les équations obtenues sont similaires à celles dérivées ici, mais avec partout le nombre imaginaire $i$ remplacé par $-i$.

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