$\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}$ $\newcommand{\fvec}[1]{\vec{\tilde{#1}}}$ $\newcommand{\frho}{\tilde{\rho}}$ $\newcommand{\reels}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\eps}{\varepsilon}$

Modélisation de la permittivité diélectrique

Voici un modèle simple qui peut aider à comprendre l’origine et les propriétés de la permittivité diélectrique.

1. Polarisabilité moléculaire

Imaginons un milieu formé de molécules non polaires. Lorsqu’on applique un champ électrique $\vec{E}$, chacun des électrons d’une molécule donnée se déplace de sa position d’équilibre, créant un dipôle électrique. Si on désigne par $\boldsymbol\xi_j$ le déplacement du jème électron de la molécule, le dipôle induit sera $$\vec{p} = \sum_j e\boldsymbol\xi_j$$ où $e$ est la charge de l’électron¹.

Nous poserons les hypothèses que

  1. le champ électrique varie suffisammnet lentement pour qu’on puisse considérer qu’il est constant sur toute l’étendue de la molécule ;
  2. l’effet de l’induction magnétique sur le mouvement des électrons est négligeable.

Nous supposerons donc que le mouvement de chaque électron est régi par l’équation simple suivante : $$m\ddot{\boldsymbol{\xi}}_j+\gamma_j \dot{\boldsymbol{\xi}}_j+k_j\boldsymbol{\xi}_j=e\vec{E}$$ où $m$ est la masse de l’électron et où $\gamma_j \lt 4 k_j m$.

Les équations de mouvement peuvent être résolues par la méthode de variation des paramètres : si on pose $$\omega_j = \sqrt{\dfrac{k_j}{m}},~~\Gamma_j = \dfrac{\gamma_j}{m}~~\text{et}~~\Omega_j = \sqrt{\omega_j^2-\frac{1}{4}\Gamma_j^2},$$

les solutions sont de la forme $$\boldsymbol{\xi}_j(t) =\dfrac{e}{m}\int_{-\infty}^t e^{-\frac{1}{2}\Gamma_j(t-\tau)}\dfrac{\sin(\Omega_j (t-\tau))}{\Omega_j}\vec{E}(\vec{x},\tau)~\dif \tau.$$ On aura donc $$\vec{p}(t) = \dfrac{e^2}{m} \sum_j \int_{-\infty}^{-\infty} f_j(t-\tau)\vec{E}(\vec{x},\tau)~\dif \tau$$ avec $$f_j(t)=e^{-\frac{1}{2}\Gamma_jt}\dfrac{\sin(\Omega_j t)}{\Omega_j} H(t).$$ En prenant la transformée de Fourier, on obtient $$\fvec{p}(\omega) = \alpha(\omega) \fvec{E}(\vec{x},\omega)$$ où la polarisabilité moléculaire $\alpha$ est donnée par la formule $$\begin{split}\alpha(\omega) & = \dfrac{e^2}{m} \sum_j \sqrt{2\pi} \tilde{f}_j(\omega) \\ & = \dfrac{e^2}{m} \sum_j \dfrac{1}{\omega_j^2-\omega^2 - i \Gamma_j \omega} \\ & = \dfrac{e^2}{m} \sum_j \dfrac{\omega_j^2-\omega^2+i\Gamma_j \omega}{\left( \omega_j^2-\omega^2 \right)^2 + \Gamma_j^2 \omega^2}. \end{split}$$

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¹ On peut aussi tenir compte du déplacement des ions. Le formalisme est similaire.

2. Champ local et relation de Clausius-Mossotti

Il reste à établir la relation entre la polarisabilité molé­cu­laire $\alpha$ et la permittivité diélectrique $\eps$ (ou encore la per­mit­tivité diélectrique relative $\eps’$ définie par $\eps = \eps_0\eps’$).

Désignons par $\vec{E}$ le champ électrique macroscopique dans un matériau. Il s'agit en fait d'un champ « moyen » et on peut montrer que le champ auquel est soumis chacune des molécules est un champ différent qui porte le nom de champ local. À la limite où la distance intermolé­culaire est négligeable devant les longueurs d’onde impliquées, on peut montrer que ce champ local est donné par l’expression $$\vec{E}_{loc}=\vec{E}+\dfrac{1}{3\eps_0}\vec{P}.$$

En passant à la transformée de Fourier, on aura donc pour chaque molécule $$\fvec{p}= \alpha \fvec{E}_{loc}= \alpha \left( \fvec{E}+\dfrac{1}{3\eps_0}\fvec{P} \right).$$ S’il y a $N$ molécules par unité de volume, cela donne

$$\fvec{P}= N\fvec{p}= N \alpha \left( \fvec{E}+\dfrac{1}{3\eps_0}\fvec{P} \right).$$ En résolvant par rapport à $\fvec{P}$, on obtient $$\fvec{P}= \dfrac{3 \eps_0 N \alpha}{3 \eps_0 - N \alpha} \fvec{E}.$$ Puisque $$\fvec{D} = \eps \fvec{E} = \eps_0 \fvec{E}+\fvec{P}~\Rightarrow~\fvec{P} = (\eps - \eps_0) \fvec{E},$$on obtient finalement $$\eps’ = \dfrac{\eps}{\eps_0} = \dfrac{3 \eps_0+ 2N \alpha}{3 \eps_0-N \alpha}.$$

On peut aussi isoler $N\alpha$ pour obtenir la relation de Clausius-Mossotti² : $$\dfrac{N \alpha}{3 \eps_0} = \dfrac{\eps - \eps_0}{\eps +2 \eps_0} = \dfrac{\eps’ - 1}{\eps’ +2 }.$$

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² Lorsqu’on remplace $\eps’$ par le carré de l’indice de réfraction, cette relation est connue sous le nom de relation de Lorentz-Lorenz.

3. Notes et références

RosenfeldPour la polarisabilité moléculaire, je me suis inspiré de l’exposition dans L. Rosenfeld. Theory of Electrons. Dover Publications, Inc. 1965. Pour ce qui est du champ local, il suffit de googler « champ local de Lorentz ». Ce ne sont pas les références qui manquent sur le web (idem pour les relations de Clausius-Mossotti et de Lorentz-Lorenz).
Photo de Léon Rosenfeld (1904-1974) à gauche : GFHund sous Wikimedia Commons.

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