Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment résoudre l'équation à quatre composantes $$\boldsymbol\Phi’(z)=i\dfrac{\omega}{c}\boldsymbol\Delta\boldsymbol\Phi(z) \tag{1}$$ dans des milieux isotropes lorsque $\ka_y=(c/\omega)k_y=0$ . Nous allons voir ici une forme générale des solutions de (1).
La forme générale de la matrice $\boldsymbol{\Delta}$ est donnée dans l'équation (1) de la page 1 du chapitre II. On peut vérifier que les valeurs propres sont de la forme $$\begin{array} {ll} \lambda=\pm\zeta, & \zeta=\sqrt{\eps’-\ka_x^2-\ka_y^2}. \end{array}$$ Les vecteurs propres correspondants auront donc une dépendance en $z$ de la forme $$\begin{array} {ll} \exp (\pm i \gamma z), & \gamma = (\omega/c) \zeta. \end{array}$$ Tout comme au chapitre précédent, on choisira $$0 \le \text{sgn}\mkern 2mu\omega\arg\zeta \le\pi/2$$ de telle manière que les vecteurs propres, pour la valeur propre $\zeta$, correspondent à des champs qui se propagent vers la droite et, pour la valeur propre -$\zeta$, à des champs qui se propagent vers la gauche.
Dans la suite, nous utiliserons les vecteurs d'onde $$ \vec{k}_\pm = [k_x~k_y~\pm\gamma]^T $$ et les vecteurs d'onde réduits $$ \boldsymbol{\ka}_\pm = [\ka_x~\ka_y~\pm\zeta]^T = (c/\omega)\vec{k}_\pm. $$
On vérifie facilement que pour des champs $\fffvec{E}_\pm$, $\fffvec{H}_\pm$ qui se propagent soit vers la droite soit vers la gauche, les équations de Maxwell-Lorentz sont équivalentes à $$\left\{ \begin{array} {l} \vec{k}_\pm \times (Z_0 \fffvec{H}_\pm) + \dfrac{\omega}{c} \eps' \fffvec{E}_\pm = 0, \\ \vec{k}_\pm \times \fffvec{E}_\pm - \dfrac{\omega}{c} Z_0 \fffvec{H}_\pm = 0. \end{array} \right.\tag{2}$$ En passant au vecteurs d'onde réduits et en utilisant le fait que $$ \boldsymbol{\ka}_\pm \cdot \boldsymbol{\ka}_\pm = \eps', $$ on peut ensuite montrer que le système (2) est lui-même équivalent à $$\begin{array} {ll} \boldsymbol{\ka}_\pm \cdot \fffvec{E}_\pm = 0, & Z_0 \fffvec{H}_\pm = \boldsymbol{\ka}_\pm \times \fffvec{E}_\pm. \end{array} \tag{3}$$ La conclusion qui s'impose, c'est qu'un vecteur propre $\boldsymbol\Phi$ de $\boldsymbol\Delta$, qui correspond à champ avec un sens de propagation bien défini, est complètement déterminé par les valeurs des composantes $x$ et $y$ du champ électrique : la composante $z$ est en effet déterminée par la première équation de (3) et la deuxième équation permet ensuite de calculer le champ magnétique.
Sauf dans le cas particulier où $\ka_x=\ka_y=0$, il est toujours possible de décomposer le champ en une superposition des deux cas particuliers suivants :
Dans la suite, on définira un angle $\phi$ tel que $$\begin{array} {ll} \ka_x = \ka \cos \phi, & \ka_y = \ka \sin \phi, & \ka = \sqrt{\ka_x^2+\ka_y^2}. \end{array}$$
Posons $$\begin{array} {ll} \fff{E}_x = \alpha \cos \phi, & \fff{E}_y = \alpha \sin \phi. \end{array}$$ D'après (3), on doit avoir $\zeta\fff{E}_z = \mp \alpha \ka.$ Si on choisit $\alpha = \pm \zeta/n,$ on obtient $$\begin{array} {ll} \fffvec{E}_\pm = \begin{bmatrix} \pm \zeta \cos \phi /n \\ \pm \zeta \sin \phi /n \\ -\kappa/n \end{bmatrix}, & Z_0\fffvec{H}_\pm = \begin{bmatrix} -n \sin \phi \\ n \cos \phi \\ 0 \end{bmatrix}. \end{array}$$
Au total, ceci donne comme vecteurs propres
$$|~TM~\pm\gt = [\pm \dfrac{\zeta \cos \phi}{n}~~n \cos \phi~\pm \dfrac{\zeta \sin \phi}{n}~-n \sin \phi]^T.$$ Remarque : Conformément à l'usage, la valeur de $\alpha$ a été choisie pour que le champ électrique soit de longueur $1$ lorsque $\zeta$ est réel.
Posons $$\begin{array} {ll} \fff{E}_x = -\sin \phi, & \fff{E}_y = \cos \phi. \end{array}$$ La première équation de (3) donne $\fff{E}_z=0$. On a donc $$\begin{array} {ll} \fffvec{E}_\pm = \begin{bmatrix} -\sin \phi \\ \cos \phi \\ 0 \end{bmatrix}, & Z_0\fffvec{H}_\pm = \begin{bmatrix} \mp \zeta \cos \phi \\ \mp \zeta \sin \phi \\ \kappa \end{bmatrix}. \end{array}$$
Au total, on obtient les deux vecteurs propres $$|~TE~\pm\gt = [-\sin \phi~\mp \zeta \sin \phi~~\cos \phi~\mp \zeta \cos \phi]^T.$$
La matrice quatre par quatre $\vec{M}$ qui a les vecteurs $|~TM~\pm\gt$ et $|~TE~\pm\gt$ comme colonnes a pour inverse une matrice $\vec{M}^{-1}$ dont les lignes sont les vecteurs de la base duale. Lorsqu'on effectue le calcul, on obtient $$\lt TM \pm| = \dfrac 1 2 [\pm \dfrac{n \cos \phi}{\zeta}~~\dfrac {\cos \phi} n~\pm \dfrac{n}{\zeta} \sin \phi~~-\dfrac {\sin \phi} n],$$ $$\lt TE \pm| = \dfrac 1 2 [-\sin \phi~\mp \dfrac {\sin \phi} \zeta~~\cos \phi~\mp \dfrac {\cos \phi} \zeta].$$
Il existe une infinité d'autres choix possibles pour les vecteurs propres de la matrice $\boldsymbol{\Delta}$. En fait, la décomposition du champ en polarisation $TE$ et $TM$ n'est pas un choix judicieux lorsqu'on étudie les faisceaux paraxiiaux, c.-à-d. les faisceaux pour lesquels on a $\ka_x \approx 0$ et $\ka_y \approx 0$. On reviendra sur le sujet plus tard.