$\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}$ $\newcommand{\fvec}[1]{\tilde{\vec{#1}}}$ $\newcommand{\ffvec}[1]{\check{\vec{#1}}}$ $\newcommand{\fffvec}[1]{\check{\tilde{\vec{#1}}}}$ $\newcommand{\f}[1]{\tilde{#1}}$ $\newcommand{\ff}[1]{\check{#1}}$ $\newcommand{\fff}[1]{\check{\tilde{#1}}}$ $\newcommand{\reels}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\eps}{\varepsilon}$ $\newcommand{\ka}{\kappa}$ $\newcommand{\xy}{\mathbin{/\mkern-4mu/}}$

Milieux stratifiés anisotropes : un aperçu

Nous donnons ici un très bref aperçu des méthodes utilisées dans les milieux stratifiés anisotropes. Nous nous limiterons au calcul des matrices de Jones (qui généralisent les coefficients de réflexion et transmission) pour illustrer ces méthodes.

1. Propagation dans les milieux anisotropes

cristaux
Deux exemples de milieux cristallins. Le cristal de
gauche est isotrope, celui de droite est anisotrope.

Les milieux anisotropes sont des milieux cristallins où, à cause de la struc­ture du matériau, la polarisation n'est généralement pas parallèle au champ électrique. Si le milieu est linéaire, on aura alors entre les champ et déplacement électriques une relation où la permittivité diélectrique est un tenseur : $$\begin{array} {lll} \fvec{D} = \boldsymbol{\eps} \fvec{E}, & \boldsymbol{\eps}=\eps_0 \boldsymbol{\eps'}, & \boldsymbol{\eps'} = \begin{bmatrix} \eps'_{xx} & \eps'_{xy} & \eps'_{xz} \\ \eps'_{yx} & \eps'_{yy} & \eps'_{yz} \\ \eps'_{zx} & \eps'_{zy} & \eps'_{zz} \end{bmatrix}. \end{array}$$

La presque totalité des auteurs qui traitent de l'optique des milieux anisotropes se limitent au cas où le tenseur de permittivité diélectrique relative $\boldsymbol{\eps'}$ est réel. On peut alors montrer que ce tenseur doit être symétrique¹ : $$\begin{array} {lll}\eps'_{yx}=\eps'_{xy}, & \eps'_{zx}=\eps'_{xz}, & \eps'_{zy}=\eps'_{yz}. \end{array}$$

On peut procéder dans ces milieux comme on l'a fait pour les milieux isotropes à la première page du chapitre. En général, on n'a plus d'invariance sous les rotation autour de l'axe des $z$. Néanmoins, pour éviter des expressions trop compliquées, nous nous limiterons encore aux composantes de Fourier avec $k_y=0$. On obtient dans ce cas l'équation de Berreman $$\dfrac{\partial}{\partial z} \begin{bmatrix} \fff{E}_x \\ Z_0 \fff{H}_y \\ \fff{E}_y \\ Z_0 \fff{H}_x \end{bmatrix} = i \dfrac{\omega}{c} \begin{bmatrix} -\ka_x \dfrac{\eps'_{zx}}{\eps’_{zz}} & 1-\dfrac{\ka_x^2}{\eps’_{zz}} & -\ka_x \dfrac{\eps'_{zy}}{\eps’_{zz}} & 0 \\ \eps’_{xx}-\dfrac{\eps'_{xz}\eps'_{zx}}{\eps’_{zz}} & -\ka_x \dfrac{\eps'_{xz}}{\eps’_{zz}} & \eps’_{xy}-\dfrac{\eps'_{xz}\eps'_{zy}}{\eps’_{zz}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \dfrac{\eps'_{yz}\eps'_{zx}}{\eps’_{zz}}- \eps'_{yx} & \ka_x \dfrac{\eps'_{yz}}{\eps’_{zz}} & \ka_x^2 -\eps’_{yy}+\dfrac{\eps'_{yz}\eps'_{zy}}{\eps’_{zz}} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \fff{E}_x \\ Z_0 \fff{H}_y \\ \fff{E}_y \\ Z_0 \fff{H}_x \end{bmatrix} \tag{1}$$ où, rappelons le, $\ka_x=ck_x/\omega$. Comme avant, nous utiliserons pour cette équation la notation $\boldsymbol\Phi’(z)=i\dfrac{\omega}{c}\boldsymbol\Delta\boldsymbol\Phi(z).$

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¹ Cette propriété entraîne que le tenseur $\boldsymbol{\eps'}$ est diagonalisable. Nous n'utiliserons pas ce fait ici.

2. Différences avec le cas isotrope

Généralités

La principale différence entre l'équation (1) et son équi­va­lent pour les milieux isotropes est que, sauf coïnci­dence improbable, il n'y a plus de découplage conduisant à deux polarisations indépendantes. Dès qu'il y a une couche ani­sotrope, on est obligé de travailler en dimension 4 plutôt qu'en dimension 2 dans l'ensemble du milieu stratifié.

L'autre différence majeure, c'est que les équations sont maintenant suffisamment compliquées pour qu'on ne puisse plus utiliser des expressions algébriques pour les valeurs et vecteurs propres. On est obligé de faire tous les calculs de manière numérique. Il est donc impossible de fournir des formules ou des analyses comme nous l'avons fait pour les milieux isotropes.

Coefficients de réflexion et de transmission

Le principe global pour calculer les coefficients de réflexion et de transmission est le même que pour les milieux isotropes, sauf qu'il faut maintenant travailler avec deux polarisations simultanément. Cela signifie que les coefficients vont devenir des matrices 2×2, étant donné qu'il y a deux types de champs incidents à considérer ainsi que deux types de champs réfléchis et transmis. Ces matrices portent le nom de « matrices de Jones ».

Milieux entrant et sortant

Pour simplifier, nous supposerons que les milieux entrant et sortant sont l'air (indice de réfraction $n=1$). On utili­sera donc aussi bien dans le milieu sortant que dans le milieu entrant les vecteurs propres à quatre composantes

$$\begin{array} {l} |~p, \pm \gt = \left[\pm \cos\theta_0~~~1~~~0~~~0\right]^T \\ |~s, \pm \gt = \left[0~~~0~~~1~~~\mp \cos\theta_0\right]^T \end{array}$$ où $\theta_0$ est l'angle d'incidence. Lorsqu'on forme la matrice $\vec{M}_0$ qui a ces champs comme colonnes et qu'on l'inverse, on trouve comme lignes de la matrice $\vec{M}_0^{-1}$ les champs $$\begin{array} {l} \lt p, \pm~| = \dfrac{1}{2}~\left[\pm 1/\cos\theta_0~~~1~~~0~~~0\right] \\ \lt s, \pm~| = \dfrac{1}{2}~\left[0~~~0~~~1~~~\mp 1/\cos\theta_0 \right]. \end{array}$$

Matrices caractéristiques

Les matrices caractéristiques sont maintenant des matrices 4×4. Pour les calculer. nous devons tout d'abord, dans chaque milieu $j$, trouver un système complet de vecteurs propres de la matrice $\boldsymbol{\Delta}_j$. Nous noterons ces vecteurs propres $|~j, k \gt$ et les valeurs propres correspondantes $\lambda_{jk}$ ($1 \le k \le 4$).

En inversant la matrice $\vec{M}_j$ qui a les $|~j, k \gt$ comme co­lonnes, on trouve les champs $\lt j, l~|$ avec la propriété $$\lt j, l~|~j, k \gt = \delta_{lk}$$ (ces champs sont les lignes de la matrice $\vec{M}_j^{-1}$). Une fois ces vecteurs connus, on peut calculer la matrice² $$\exp\left(i\dfrac{\omega}{c}\boldsymbol\Delta_j z\right) =\sum_{k=1}^4 |~j, k \gt \exp\left(i \frac{\omega}{c}\lambda_{jk}z\right) \lt j, k~|.$$ Le reste du calcul des matrices caractéristiques se fait comme dans le cas isotrope.

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² Dans cette formule, la direction de propagation de chacun des $|~j, k \gt$ ne joue pas un rôle particulier. Ceci explique pourquoi on a éliminé les symboles $+$ et $-$ dans la notation pour les vecteurs propres et utilisé un symbole générique $\lambda$ pour les valeurs propres.

3. Matrices de Jones

Les matrices de Jones sont définies par³ $$\begin{array} {lll} \begin{bmatrix} E_{r \mkern 1mu p} \\ E_{r \mkern 1mu s} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{pp} & r_{ps} \\ r_{sp} & r_{ss} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_{i \mkern 1mu p} \\ E_{i \mkern 1mu s} \end{bmatrix} & \mathsf{et} & \begin{bmatrix} E_{t \mkern 1mu p} \\ E_{t \mkern 1mu s} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_{pp} & t_{ps} \\ t_{sp} & t_{ss} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_{i \mkern 1mu p} \\ E_{i \mkern 1mu s} \end{bmatrix} \end{array}$$ où $E_{i \mkern 1mu p}$ et $E_{i \mkern 1mu s}$, $E_{r \mkern 1mu p}$ et $E_{r \mkern 1mu s}$ sont les composantes $p$ et $s$ en $z=z_0$ des champs électriques incident et réfléchi, respectivement, alors que $E_{t \mkern 1mu p}$ et $E_{t \mkern 1mu s}$ sont les composantes $p$ et $s$ en $z=z_n$ du champ électrique transmis.

Le calcul de ces matrices peut se faire en deux étapes :

Champ incident de type $p$

On commence avec un champ incident unitaire de type $p$ venant de la gauche : on aura à l'interface $z=z_0$ $$\boldsymbol\Phi(z_0) = |~p, + \gt + r_{pp} |~p, - \gt + r_{sp} |~s, - \gt = t_{pp} \mkern 1mu\vec{N}\mkern 1mu|~p, + \gt + t_{sp} \mkern 1mu\vec{N}\mkern 1mu|~s, + \gt. \tag{2}$$ où $\vec{N}$ est la matrice caractéristique $\vec{N}_{0\kern 2mu n}$. Ceci permet de calculer $t_{pp}$ et $t_{sp}$ en résolvant le système d'équations $$ \left\{ \begin{array} {l} t_{pp} \lt p, +~|\mkern 1mu\vec{N}\mkern 1mu|~p, + \gt + t_{sp} \lt p, +~|\mkern 1mu\vec{N}\mkern 1mu|~s, + \gt = 1 \\ t_{pp} \lt s, +~|\mkern 1mu\vec{N}\mkern 1mu|~p, + \gt + t_{sp} \lt s, +~|\mkern 1mu\vec{N}\mkern 1mu|~s, + \gt = 0 \end{array} \right. \tag{3}$$ qui s'obtient en multipliant (2) par $\lt p, +~|$ et $\lt s, +~|$. Une fois $t_{pp}$ et $t_{sp}$ calculés, on obtient directement $r_{pp}$ et $r_{sp}$ en multipliant (2) cette fois-ci par $\lt p, -~|$ et $\lt s, -~|$ : $$\begin{array} {l} r_{pp} = t_{pp} \lt p, -~|\mkern 1mu\vec{N}\mkern 1mu|~p, + \gt + t_{sp} \lt p, -~|\mkern 1mu\vec{N}\mkern 1mu|~s, + \gt, \\ r_{sp} = t_{pp} \lt s, -~|\mkern 1mu\vec{N}\mkern 1mu|~p, + \gt + t_{sp} \lt s, -~|\mkern 1mu\vec{N}\mkern 1mu|~s, + \gt. \end{array}$$

Champ incident de type $s$

On peut ensuite recommencer le même processus avec un champ incident de type $s$ pour calculer $r_{ps}$, $r_{ss}$, $t_{ps}$ et $t_{ss}$. Le calcul est en tout point similaire à celui pour un champ incident de type $p$ : on l'omettra donc4.

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³ Pour alléger la notation, nous avons omis les indices $0\mkern 1mu(n+1)$ dans les éléments des matrices de Jones.

4 En fait, la seule différence, c'est que le $0$ et le $1$ qui figurent au deuxième membre des équations du système (3) sont échangés.

4. Notes et références

Pour le contenu de cette page web, je me suis en partie inspiré du chapitre 6 du livre Hiroyuki Fujiwara. Spectroscopic Ellipsometry: Principles and Applications. John Wiley & Sons, Ltd. 2007.

L'étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans les cristaux anisotropes n'est pas triviale et l'exemple suivant illustre bien la chose. Imaginons la situation la plus simple possible : un tenseur $\boldsymbol{\eps'}$ diagonal. L'équation aux valeurs propres pour la matrice $\boldsymbol{\Delta}$ se ramène alors à $$\begin{array} {lll} \lambda^2 = \eps'_{xx}(1-\kappa_x^2/\eps'_{zz}) & \mathsf{ou} & \lambda^2 = \eps'_{yy}-\kappa_x^2. \end{array}$$ Si maintenant on a $$\begin{array} {lll} \eps'_{yy} \lt \kappa_x^2 \lt \eps'_{zz} & \mathsf{ou} & \eps'_{zz} \lt \kappa_x^2 \lt \eps'_{yy}, \end{array}$$ cela signifie qu'on a simultanément deux champs qui se propagent et deux autres qui sont évanescents. Cela va-t-il à l'encontre de votre intuition ?

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