Les matrices de Mueller de la page précédente peuvent être utilisées dans un cadre plus général, celui de la lumière partiellement polarisée. Mais elles sont aussi utilisées dans des situation où le formalisme de Jones est valide. On leur donne alors le nom de matrices de Mueller-Jones ou matrices de Mueller pures. Nous voulons ici étudier plus avant la relation qui existe entre deux matrices, $\mat J$ et $\mat M_{\mat J} = \begin{bmatrix} m_{ij} \end{bmatrix}$, reliées par la formule (7) de la page précédente : $$m_{kl} = 2\tr(\boldsymbol{\sigma}_k\mat J \boldsymbol\sigma_l\mat{J}^\dagger ) = 2\tr(\mat J \boldsymbol\sigma_l \mat{J}^\dagger\boldsymbol{\sigma}_k) \tag 1$$ et ce sans nous préoccuper des questions de réalisabilité physique. Les seules contraintes que nous envisagerons dans cette page sont celles qui découlent de l'équation (1).
Soit $$\mat J = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$ une matrice de Jones. Le calcul de la matrice de Mueller correspondante en utilisant la formule (1) est un peu fastidieux mais pas spécialement difficile. Le résultat final est $$\mat M_{\mat J} = \begin{bmatrix} \frac 1 2 (|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2 ) & \frac 1 2 (|a|^2-|b|^2+|c|^2-|d|^2) & {\re (ab^*+cd^* )} & {-\im (ab^*+cd^* )} \\ \frac 1 2 (|a|^2+|b|^2-|c|^2-|d|^2) & \frac 1 2 (|a|^2-|b|^2-|c|^2+|d|^2) & {\re (ab^*-cd^* )} & {-\im (ab^*-cd^* )} \\ {\re (ac^*+bd^* )} & {\re (ac^*-bd^* )} & {\re (ad^*+bc^* )} & {-\im (ad^*-bc^* )} \\ {\im (ac^*+bd^* )} & {\im (ac^*-bd^* )} & {\im (ad^*+bc^* )} & {\re (ad^*-bc^* )} \end{bmatrix}. \tag 2$$
1. On a $$\tr \mat M_{\mat J} = |a|^2+|d|^2+2\re (ad^*) = |a+d|^2 \geqslant 0.$$ Ce fait jouera un rôle très important par la suite.
2. On remarque qu'on peut découper la matrice en quatre blocs 2×2 permettant chacun de calculer les quantités qui apparaissent dans le tableau suivant :
| $|a|^2$, $|b|^2$, $|c|^2$, $|d|^2$ | $ab^*$, $cd^*$ |
| $ac^*$, $bd^*$ | $ad^*$, $bc^*$ |
3. On note également que la formule (2) confirme une remarque faite à la page précédente, à savoir que $$\mat M_{\mat J}^\t = \mat M_{\mat J^\dagger}. \tag 3$$
Nous voulons maintenant faire le passage dans le sens inverse : retrouver les éléments de $\mat{J}$ à partir de ceux de $\mat M_{\mat J}$. Comme on l'a constaté, la formule (2) ne nous donne pas directement $a$, $b$, $c$ et $d$, mais plutôt les quantités $|a|^2$, $|b|^2$, … et $ab^*$, $ac^*$, etc. On peut ranger ces résultats dans une matrice hermitienne associée à $\mat M_{\mat J}$, que nous appelerons $\mat H_{\mat J}$ : $$\mat H_{\mat J} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a^* & b^* & c^* & d^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |a|^2 & ab^* & ac^* & ad^* \\ ba^* & |b|^2 & bc^* & bd^* \\ ca^* & cb^* & |c|^2 & cd^* \\ da^* & db^* & dc^* & |d|^2 \end{bmatrix}. \tag 4$$ On notera que cette matrice est, à un facteur positif près, un projecteur sur un sous-espace de dimension 1 de $\mathbb C^4$ : $$\mat H_{\mat J} = (|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2 )\mat P_{\mat J}.$$
En comparant les formules (2) et (4), on voit qu'on peut mettre $\mat H_{\mat J}$ sous la forme $$\mat H_{\mat J} = \dfrac 1 2 \begin{bmatrix} {m_{00}+m_{01}\\+m_{10}+m_{11}} & {m_{02}+m_{12}\\-i( m_{03}+m_{13} )} & {m_{20}+m_{21}\\+i( m_{30}+m_{31} )} & {m_{22}+m_{33}\\+i( m_{32}-m_{23} )} \\ {m_{02}+m_{12}\\+i( m_{03}+m_{13} )} & {m_{00}-m_{01}\\+m_{10}-m_{11}} & {m_{22}-m_{33}\\+i( m_{32}+m_{23} )} & {m_{20}-m_{21}\\+i( m_{30}-m_{31} )} \\ {m_{20}+m_{21}\\-i( m_{30}+m_{31} )} & {m_{22}-m_{33}\\-i( m_{32}+m_{23} )} & {m_{00}+m_{01}\\-m_{10}-m_{11}} & {m_{02}-m_{12}\\+i( -m_{03}+m_{13} )} \\ {m_{22}+m_{33}\\-i( m_{32}-m_{23} )} & {m_{20}-m_{21}\\-i( m_{30}-m_{31} )} & {m_{02}-m_{12}\\-i( -m_{03}+m_{13} )} & {m_{00}-m_{01}\\-m_{10}+m_{11}} \end{bmatrix}. \tag 5$$ La formule (5), quand on la généralise à toutes les matrices réelles $4 \times 4$ $\mat M$, établit une correspondance linéaire plus ou moins naturelle $$\mathcal H : \mat M \longmapsto \mat H = \mathcal H (\mat M) \tag 6$$ entre l'ensemble de ces matrices et l'ensemble des matrices complexes hermitiennes $\mat H$ de même dimension. Cette correspondance, qui est en fait une bijection (voir section 4), jouera un rôle important plus tard.
Une matrice réelle $4 \times 4$ quelconque $\mat M$ a 16 paramètres indépendants alors qu'une matrice de Jones $\mat J$, qui est définie à un facteur de phase près, dépend de seulement 7 quantités réelles. Il doit donc y avoir 9 contraintes que doit satisfaire une matrice $\mat M_{\mat J}$ pour être une matrice de Mueller-Jones. On peut imaginer différentes approches pour trouver ces contraintes ; certaines ont moins de succès que d'autres.
Il est évident que les éléments de la matrice associée $\mat H_{\mat J}$ ne sont pas indépendants : on a tout d'abord 6 contraintes de la forme $$|ab^*| = |a| |b|~~\Rightarrow~~\left[ \re \left(ab^* \right) \right]^2 + \left[ \im \left(ab^* \right) \right]^2 = |a|^2|b|^2. \tag 7$$ En comparant les formules (4) et (5) pour la matrice $\mat H_{\mat J}$, on peut mettre ces contraintes sous la forme $$\begin{array} {l} \left( m_{01} \pm m_{11} \right)^2+\left( m_{02} \pm m_{12} \right)^2+\left( m_{03} \pm m_{13} \right)^2 = \left( m_{00} \pm m_{10} \right)^2, \\ \left( m_{10} \pm m_{11} \right)^2+\left( m_{20} \pm m_{21} \right)^2+\left( m_{30} \pm m_{31} \right)^2 = \left( m_{00} \pm m_{01} \right)^2, \\ \left( m_{01} \pm m_{10} \right)^2+\left( m_{22} \pm m_{33} \right)^2+\left( m_{32} \mp m_{23} \right)^2 = \left( m_{00} \pm m_{11} \right)^2. \end{array}$$ Il existe également 3 contraintes du type $$ab^* \mkern 2mu bc^* = |b|^2ac^*~~\Rightarrow~~\arg(ab^*)+\arg(bc^*)=\arg(ac^*) \mkern 2mu (\pm2 \pi) \tag 8$$ Ces contraintes sont plus difficiles à exprimer de manière simple en termes des $m_{ij}$ ; on omettra donc le résultat.
Une autre approche consiste à dire qu'une matrice de Mueller-Jones doit envoyer des vecteurs de Stokes correspondant à des vecteurs de Jones sur des vecteurs de même nature. Or, on a vu que $\mat s =\begin{bmatrix} s_0 & s_1 & s_2 & s_3 \end{bmatrix}^\t$ est un vecteur de Stokes de ce type si et seulement si $s_0 \gt 0$ et $s_0^2-s_1^2-s_2^2-s_3^2 = 0$. On doit donc avoir $$\mat s' = \mat H_{\mat J} \mat s ,~s_0 \gt 0,~s_0^2-s_1^2-s_2^2-s_3^2 = 0 \implies s'_0 \gt 0,~s_0^{\prime 2}-s_1^{\prime 2}-s_2^{\prime 2}-s_3^{\prime 2} = 0. \tag 9$$ Malheureusement, bien que la condition (9) soit nécessaire, elle n'est pas suffisante. En effet, la matrice $$\mat M = \diag(1, -1, -1, -1)$$ satisfait le critère, mais ce n'est pas une matrices de Mueller-Jones puisque sa trace est négative.
Soit $\mathcal C$ une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice $\mat M$ soit une matrice de Mueller-Jones. Il faut que $\mat M^\t$ satisfasse $\mathcal C$ si si $\mat M$ le fait et vice versa, puisque $\mat M^\t$ est une matrice de Mueller-Jones si $\mat M$ en est une et inversément.
On peut vérifier que la correspondance $\mat H = \mathcal H (\mat M )$ est inversible. La formule pour $\mat M = \mathcal H^{-1} (\mat H )$ est : $$\mat M = \dfrac 1 2 \begin{bmatrix} {h_{00}+h_{11}\\+h_{22}+h_{33}} & {h_{00}-h_{11}\\+h_{22}-h_{33}} & {h_{01}+h_{23}\\+h_{10}+h_{32}} & {i (h_{01}+h_{23}\\-h_{10}-h_{32} )} \\ {h_{00}+h_{11}\\-h_{22}-h_{33}} & {h_{00}-h_{11}\\-h_{22}+h_{33}} & {h_{01}-h_{23}\\+h_{10}-h_{32}} & {i (h_{01}-h_{23}\\-h_{10}+h_{32} )} \\ {h_{02}+h_{13}\\+h_{20}+h_{31}} & {h_{02}-h_{13}\\+h_{20}-h_{31}} & {h_{03}+h_{12}\\+h_{30}+h_{21}} & {i (h_{03}-h_{12}\\-h_{30}+h_{21})} \\ {-i (h_{02}+h_{13}\\-h_{20}-h_{31} )} & {-i (h_{02}-h_{13}\\-h_{20}+h_{31} )} & {-i (h_{03}+h_{12}\\-h_{30}-h_{21} )} & {h_{03}-h_{12}\\+h_{30}-h_{21}} \end{bmatrix}. \tag {10}$$ En fait, cette formule est tout simplement la formule (2) où on a remplacé $|a|^2$ par $h_{00}$, $ab^*$ par $h_{01}$, etc.
Une matrice $4 \times 4$ réelle $\mat M$ est une matrice de Mueller-Jones ssi la matrice hermitienne associée $\mat H = \mathcal H (\mat M )$ est un multiple positif d'un projecteur de rang 1. On a donc la caractérisation suivante : Soit $\mat M$ une matrice $4 \times 4$ réelle et soit $\mat H = \mathcal H (\mat M )$ la matrice hermitienne associée. $\mat M$ est une matrice de Mueller-Jones ssi $\tr (\mat H) \gt 0$ et $\mat H^2 = \tr (\mat H) \mkern 3mu \mat H$.
Il est possible de déduire de la formule (2) et des résultats à la fin des deux pages précédentes que la norme de la matrice de Jones est donnée par la formule plutôt compliquée $$\lVert\mat J\rVert = \sqrt{\textstyle\frac 1 2 (|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2 )+\sqrt{\textstyle\frac 1 4 (|a|^2-|b|^2+|c|^2-|d|^2)^2+|ab^*+cd^* |^2}}. \tag {11}$$
Remarque. (11) peut aussi s'écrire $$\lVert\mat J\rVert = \sqrt{\textstyle\frac 1 2 \tr(\mat J^\dagger \mat J)+\sqrt{\left[ \textstyle\frac 1 2 \tr(\mat J^\dagger \mat J) \right]^2-\det(\mat J^\dagger \mat J)}}. \tag {12}$$ Puisque $\det(\mat J \mat J^\dagger) = \det(\mat J^\dagger \mat J)$, $\tr(\mat J \mat J^\dagger) = \tr(\mat J^\dagger \mat J)$ et $\mat J = (\mat J^\dagger)^\dagger$, on peut déduire de (12) que $$\lVert\mat J^\dagger\rVert = \lVert\mat J\rVert. \tag {13}$$