Nous montrons ici comment utiliser les matrices de polarisation pour traiter les superpositions incohérentes de faisceaux lumineux et décrire la lumière partiellement polarisée.
Imaginons un faisceau lumineux monochromatique qui se propage dans une direction donnée. Si la lumière a une polarisation bien définie, on a vu comment la décrire par un vecteur de Jones. Le problème, c'est que la lumière venant de sources naturelles est souvent un mélange de toutes sortes de polarisations différentes. Supposons qu'on veuille décrire une telle superposition incohérente avec des vecteurs de Jones. À chaque polarisation, on peut associer un vecteur $$\boldsymbol\phi = \begin{bmatrix} E_x & E_y \end{bmatrix}^\t.$$
Si maintenant on essayait de prendre une moyenne de ces vecteurs de Jones, on aurait $$\langle \boldsymbol\phi \rangle \approx 0,$$ les différentes polarisations s'annulant mutuellement par un phénomène d'interférences destructives.
La morale, c'est que les vecteurs de Jones sont un outil parfait pour décrire une superposition cohérente de champs, mais que si on veut décrire une superposition incohérente, il faut trouver un autre formalisme.
On se heurte à la même difficulté en mécanique quantique lorsqu'on veut décrire une superposition statistique d'états : on ne peut pas utiliser les fonctions d'ondes. L'outil adéquat pour faire ce genre de choses est l'opérateur ou matrice densité, dont l'équivalent ici est la matrice de polarisation. Cela suggère que pour obtenir une superposition incohérente de polarisations, la chose à faire est de superposer les matrices de polarisation correspondantes. Étant donné qu'on peut établir une relation linéaire entre les matrices de polarisation et les vecteurs de Stokes, dont les composantes sont des intensités, effectuer une superposition incohérente reviendrait donc à superposer des intensités, ce qui correspond bien à notre intuition.
D'après ce qui précède, on sera amené dans la suite à considérer des matrices de polarisation de la forme $$\boldsymbol\sigma = \langle \boldsymbol\phi \boldsymbol\phi^\dagger \rangle = \begin{bmatrix} \langle \f{E}_x \f{E}_x^* \rangle & \langle \f{E}_x \f{E}_y^* \rangle \\ \langle \f{E}_y \f{E}_x^* \rangle & \langle \f{E}_y \f{E}_y^* \rangle \end{bmatrix}. \tag 1$$
On présume habituellement que la formule (1) peut être interprétée aussi bien comme une moyenne statistique : $$\boldsymbol\sigma = \sum_{k=1}^N p_k \boldsymbol\sigma_k = \sum_{k=1}^N p_k \boldsymbol\phi_k \boldsymbol\phi_k^\dagger \tag 2$$ (où les probabilités $p_k$ sont non négatives) que comme une moyenne temporelle : $$\mkern -24mu \boldsymbol\sigma = \frac 1 T \int_t^{t+T} \boldsymbol\sigma (\tau)~\dif \tau = \frac 1 T \int_t^{t+T} \boldsymbol\phi (\tau) \boldsymbol\phi^\dagger (\tau)~\dif \tau \tag 3$$ (qu'on suppose indépendante de la valeur de $t$). Cette présomption porte le nom d'hypothèse ergodique.
Les matrices de polarisation ont deux propriétés qui seront très importantes pour la suite.
Propriété fondamentale #1. Une matrice de polarisation $\boldsymbol\sigma$ est une matrice hermitienne semi-définie positive, ce
qui veut dire que
$$\boldsymbol\sigma = \boldsymbol\sigma^\dagger \tag 4$$ et que pour tout vecteur $\boldsymbol\psi$, on a $$\boldsymbol\psi^\dagger \boldsymbol\sigma \boldsymbol\psi \geqslant 0. \tag 5$$
La propriété résulte du fait que $\boldsymbol\sigma$ est une moyenne de matrices de la forme $\boldsymbol\phi \boldsymbol\phi^\dagger$, qui sont clairement hermitiennes. Elles sont aussi semi-définies positives car $$\boldsymbol\psi^\dagger (\boldsymbol\phi \boldsymbol\phi^\dagger) \boldsymbol\psi = |\boldsymbol\psi^\dagger\boldsymbol\phi|^2 \geqslant 0.$$
Propriété fondamentale #2. Soit $P$ un polariseur dont l'état de polarisation est donné par le vecteur unitaire $\boldsymbol{\hat\psi}$. Si on fait passer un faisceau lumineux avec une matrice de polarisation $\boldsymbol\sigma$ à travers $P$, l'intensité $I_{out}$ à la sortie satisfait $$I_{out} \propto \boldsymbol{\hat\psi}^\dagger \boldsymbol\sigma \boldsymbol{\hat\psi}. \tag 6$$
Effectivement, pour un vecteur de Jones à l'entrée $\boldsymbol\phi$, le vecteur de Jones à la sortie sera $(\boldsymbol{\hat\psi}^\dagger\boldsymbol{\phi})\boldsymbol{\hat\psi}$, d'où $$I_{out} \propto \langle | \boldsymbol{\hat\psi}^\dagger \boldsymbol\phi |^2 \rangle = \boldsymbol{\hat\psi}^\dagger \langle \boldsymbol\phi \boldsymbol\phi^\dagger \rangle \boldsymbol{\hat\psi} = \boldsymbol{\hat\psi}^\dagger \boldsymbol\sigma \boldsymbol{\hat\psi}. $$
La matrice $\boldsymbol\sigma$ étant une matrice hermitienne 2×2, on peut la mettre sous la forme $$\boldsymbol\sigma = \lambda \boldsymbol\phi \boldsymbol\phi^\dagger + \mu \boldsymbol\chi \boldsymbol\chi^\dagger. \tag 7$$ où les vecteurs $\boldsymbol\phi$ et $\boldsymbol\chi$ sont des vecteurs unitaires mutuellement orthogonaux et où $\lambda$ et $\mu$ sont réels. De plus, comme la matrice est semi-définie positive, $\lambda$ et $\mu$ ne peuvent pas être négatifs¹ ; on supposera que $$\lambda \geqslant \mu \geqslant 0.$$ Deux cas extrèmes peuvent se présenter :
Lorsqu'on est entre ces deux cas limites, on dit que la lumière est partiellement polarisée. Dans ce cas, on a $$\begin{split} \boldsymbol\sigma & = (\lambda-\mu) \boldsymbol\phi \boldsymbol\phi^\dagger + \mu \left( \boldsymbol\phi \boldsymbol\phi^\dagger + \boldsymbol\chi \boldsymbol\chi^\dagger \right) \\ & = (\lambda-\mu) \boldsymbol\phi \boldsymbol\phi^\dagger + \mu \mat I. \end{split} \tag 8$$ La lumière partiellement polarisée est donc une superposition incohérente de lumière complètement polarisée et de lumière complètement non-polarisée.
¹ Ceci entraîne que $\det \boldsymbol{\sigma} = \lambda \mu \geqslant 0$.
D'après la formule (8), on aura $$\mkern -30mu \boldsymbol\sigma = (\lambda-\mu) \begin{bmatrix} |\phi_x|^2 & \phi_x \phi_y^* \\ \phi_x^* \phi_y & |\phi_y|^2 \end{bmatrix} + \mu \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \tag 9$$ ce qui donne comme paramètres de Stokes² $$s_0 = (\lambda-\mu) \left( |\phi_x|^2 + |\phi_y|^2 \right) + 2 \mu = \lambda+\mu,$$ $$s_1 = (\lambda-\mu) \left( |\phi_x|^2 - |\phi_y|^2 \right),$$ $$\begin{array} {ll} s_2=2(\lambda-\mu) \re (\phi_x \phi_y^*), & s_3=2(\lambda-\mu) \im(\phi_x \phi_y^*). \end{array}$$
On constate que $$s_1^2 +s_2^2 +s_3^2 = (\lambda-\mu)^2 \left( |\phi_x|^2 + |\phi_y|^2 \right)^2 = (\lambda-\mu)^2$$ et donc que la quantité³ $$p = \frac {\sqrt {s_1^2 +s_2^2 +s_3^2}} {s_0} = \frac {\lambda-\mu} {\lambda+\mu} \tag {10}$$ donne la proportion de l'intensité d'un faisceau qui est due à la partie complètement polarisée de la lumière. $p$ porte le nom de degré de polarisation.
² Rappelons que le vecteur $\boldsymbol\phi$ est unitaire.
³ On remarquera que $0 \leqslant p \leqslant 1$. Un vecteur de Stokes doit satisfaire $s_0 \geqslant 0$ et $s_1^2 +s_2^2 +s_3^2 \leqslant s_0^2$.
Question. On superpose de manière incohérente à 50 % un faisceau polarisé horizontalement et à 50 % un faisceau polarisé linéairement à 60°. De quelle manière le faisceau résultant est-il polarisé ?
Réponse. Les vecteurs de Jones correspondant à la polarisation des deux faisceaux sont $\boldsymbol\eta = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}^\t$ et $\boldsymbol\psi = \dfrac 1 2 \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{3} \end{bmatrix}^\t$, ce qui donne comme matrice de polarisation $$\boldsymbol\sigma = \frac 1 2 \boldsymbol\eta \boldsymbol\eta^\dagger + \frac 1 2 \boldsymbol\psi \boldsymbol\psi^\dagger = \frac 1 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \frac 1 8 \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{bmatrix} = \frac 1 8 \begin{bmatrix} 5 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{bmatrix}.$$ Les valeurs propres de $\boldsymbol\sigma$ sont $\lambda = 3/4$ et $\mu = 1/4$ et les vecteurs propres correspondants $\boldsymbol\phi = \dfrac 1 2 \begin{bmatrix} \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix}^\t$ (polarisation linéaire à 30°) et $\boldsymbol\chi = \dfrac 1 2 \begin{bmatrix} -1 & \sqrt{3} \end{bmatrix}^\t$ (polarisation linéaire à 120°), respectivement. L'état de polarisation résultant est celui qui correspond à la plus grande valeur propre (donc linéaire à 30°) avec un degré de polarisation $$p = \frac {3/4-1/4} {3/4+1/4} = 50~\%.$$
On a vu que pour de la lumière complètement polarisée, le vecteur de Stokes $$\mat s = \begin{bmatrix} s_0 & s_1 & s_2 & s_3 \end{bmatrix}^\t = \begin{bmatrix} s_0 & \vec s \end{bmatrix}^\t$$ satisfait la relation $$s_0 = \lVert \vec s \rVert.$$ Pour la lumière complètement non-polarisée, on peut facilement voir que le vecteur de Stokes a plutôt la forme $$\mat s = \begin{bmatrix} s_0 & 0 \end{bmatrix}^\t.$$ Quand la lumière est partiellement polarisée, la décomposition de $\mat s$ analogue à (8) et (9) est $$\begin{bmatrix} s_0 & \vec s \end{bmatrix}^\t = \begin{bmatrix} p s_0 & \vec s \end{bmatrix}^\t + \begin{bmatrix} (1-p) s_0 & 0 \end{bmatrix}^\t,$$ où, conformément à (10), $$p = \lVert \vec s \rVert / s_0.$$
Supposons deux faisceaux de lumière complètement polarisée, de vecteurs de Jones respectifs $\boldsymbol{\phi}$ et $\boldsymbol{\psi}$. On peut les superposer de manière parfaitement cohérente à condition de connaître la phase relative $\delta\varphi$ entre les deux vecteurs : on aura alors pour vecteur de Jones résultant $$\boldsymbol{\phi}+e^{i\delta\varphi}\boldsymbol{\psi}$$ et la matrice de polarisation sera $$\boldsymbol{\sigma} = (\boldsymbol{\phi}+e^{i\delta\varphi}\boldsymbol{\psi}) (\boldsymbol{\phi}+e^{i\delta\varphi}\boldsymbol{\psi})^\dagger = \boldsymbol{\phi} \boldsymbol{\phi}^\dagger + \boldsymbol{\psi} \boldsymbol{\psi}^\dagger + e^{i\delta\varphi} \boldsymbol{\psi} \boldsymbol{\phi}^\dagger + e^{-i\delta\varphi} \boldsymbol{\phi} \boldsymbol{\psi}^\dagger.$$ Il peut arriver, dans certaines circonstances, qu'il y ait une perte de cohérence entre les deux faisceaux. Si la perte de cohérence est partielle, on peut traiter la différence de phase de manière statistique, ce qui donne $$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\phi} \boldsymbol{\phi}^\dagger + \boldsymbol{\psi} \boldsymbol{\psi}^\dagger + \langle e^{i\delta\varphi} \rangle \boldsymbol{\psi} \boldsymbol{\phi}^\dagger + \langle e^{-i\delta\varphi} \rangle \boldsymbol{\phi} \boldsymbol{\psi}^\dagger.$$ À la limite où la perte de cohérence est totale, on aura $$\langle e^{i\delta\varphi} \rangle= \langle e^{-i\delta\varphi} \rangle = 0$$ et on retrouve la superposition incohérente $$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\phi} \boldsymbol{\phi}^\dagger + \boldsymbol{\psi} \boldsymbol{\psi}^\dagger.$$