$\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}$ $\newcommand{\fvec}[1]{\tilde{\vec{#1}}}$ $\newcommand{\ffvec}[1]{\check{\vec{#1}}}$ $\newcommand{\fffvec}[1]{\check{\tilde{\vec{#1}}}}$ $\newcommand{\f}[1]{\tilde{#1}}$ $\newcommand{\ff}[1]{\check{#1}}$ $\newcommand{\fff}[1]{\check{\tilde{#1}}}$ $\newcommand{\reels}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\eps}{\varepsilon}$ $\newcommand{\xy}{\mathbin{/\mkern-4mu/}}$ $\newcommand{\re}{\text{Re}}$ $\newcommand{\im}{\text{Im}}$

Vecteur de Poynting et absorption

Nous allons voir ici comment calculer les flux d’énergie et l’absorption en utilisant les composantes de Fourier. Pour cela, nous aurons besoin de l’égalité de Parseval, qui dit que si $\varphi$ et $\psi$ sont deux fonctions complexes dans $\mathcal{S}$, alors $$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \left( \fff{\varphi}\right)^* \fff{\psi}~\dif k_x \dif k_y \dif \omega = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \varphi^*\psi~\dif x \dif y \dif t.$$

1. Égalité de Parseval pour les fonctions réelles

Soient $\varphi$ et $\psi$ deux fonctions réelles dans $\mathcal{S}$. Posons $$I(z) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \varphi\psi~\dif x \dif y \dif t.$$ Puisque $\varphi$ et $\psi$ sont toutes les deux réelles, on peut écrire $$\begin{split} I(z) & = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \varphi^*\psi~\dif x \dif y \dif t \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \varphi\psi^*~\dif x \dif y \dif t. \end{split}$$

L’égalité de Parseval appliquée aux deux intégrales donnera $$\begin{split} I(z) & = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \left( \fff{\varphi}\right)^* \fff{\psi}~\dif k_x \dif k_y \dif \omega \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \fff{\varphi}\left(\fff{\psi}\right)^*~\dif k_x \dif k_y \dif \omega. \end{split}$$ On peut donc conclure que $$I(z) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \re\left[\fff{\varphi}\left(\fff{\psi}\right)^*\right]~\dif k_x \dif k_y \dif \omega.$$

2. Vecteur de Poynting

Poynting
John Henry Poynting (1852-
1914) (domaine public, sous
Wikimedia Commons).

Considérons un signal électromagnétique de durée de vie et d’extension spatiale finies. La quantité d’énergie électromagnétique qui traversera le plan $z=z_a$ sur la durée de vie du signal est donnée par l’intégrale de la troisième composante du vecteur de Poynting : $$\begin{split} \mathcal{E}(z_a) &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \left[\vec{E} \times \vec{H} \right]_{z=z_a} \cdot \vec{\hat{z}}~\dif x \dif y \dif t \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \left[E_xH_y-E_yH_x\right]_{z=z_a}~\dif x \dif y \dif t. \end{split}$$ D’après la section précédente, en termes de composantes de Fourier, on aura $$\mathcal{E}(z_a)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \re\left[\fff{E}_x\left(\fff{H}_y\right)^* -\fff{E}_y\left(\fff{H}_x\right)^*\right]_{z=z_a}~\dif k_x \dif k_y \dif \omega.$$

3. Calcul de E (z)

Calculons maintenant l’intégrande de $\mathcal{E}(z)$ pour les polarisations $p$ et $s$.

Polarisation $p$

Soit un champ de la forme $$\boldsymbol\Phi_p(z)=c_+(z)\begin{bmatrix} \zeta/n \\ n \end{bmatrix}+c_-(z)\begin{bmatrix} -\zeta/n \\ n \end{bmatrix}.$$ Un calcul élémentaire donne $$\re\left[\fff{E}_x\left(\fff{H}_y\right)^*\right]=\dfrac{1}{Z_0}\re\left[ \left(c_+-c_-\right) \left(c_++c_-\right)^*\dfrac{\zeta n^*}{n} \right].$$ On remarque que, dans un milieu absorbant, cette quantité prend une forme plutôt compliquée qui serait difficile à interpréter physiquement. Par contre, dans un milieu transparent, si le champ n’est pas évanescent, cette expression prend la forme très simple $$\re\left[\fff{E}_x\left(\fff{H}_y\right)^*\right]=\dfrac{n\cos\theta}{Z_0} \left[ \left|c_+\right|^2- \left|c_-\right|^2 \right]$$ où on constate le découplage des deux sens de propagation ; pour un champ évanescent, on a $$\re\left[\fff{E}_x\left(\fff{H}_y\right)^*\right]=-\dfrac{2|\zeta|}{Z_0} \im (c_+c_-^*).$$

Polarisation $s$

Pour un champ de la forme $$\boldsymbol\Phi_s(z)=c_+(z)\begin{bmatrix} 1 \\ -\zeta \end{bmatrix}+c_-(z)\begin{bmatrix} 1 \\ \zeta \end{bmatrix},$$ on obtient $$\re\left[-\fff{E}_y\left(\fff{H}_x\right)^*\right]=\dfrac{1}{Z_0}\re\left[ \left(c_++c_-\right) \left(c_+-c_-\right)^*\zeta^* \right].$$ C’est marginalement plus simple que pour la polarisa­tion $p$ dans les milieux absorbants, mais la constatation est la même : dans un milieu absorbant, il n’y a pas découplage des deux sens de propagation.

Dans un milieu transparent, pour un champ non évanescent, on obtient encore $$\re\left[-\fff{E}_y\left(\fff{H}_x\right)^*\right]=\dfrac{n\cos\theta}{Z_0} \left[ \left|c_+\right|^2- \left|c_-\right|^2 \right]$$ et pour un champ évanescent, $$\re\left[-\fff{E}_y\left(\fff{H}_x\right)^*\right]=-\dfrac{2|\zeta|}{Z_0} \im (c_+c_-^*).$$

4. Calcul de l’absorption

Pour calculer l’absorption $\mathcal{A}(z_a, z_b)$ entre les plan $z=z_a$ et $z=z_b$, $(z_a \lt z_b)$ sur la vie du signal, il suffit de faire un bilan énergétique : $$\begin{split} \mathcal{A}(z_a, z_b) & =\mathcal{E}(z_a)-\mathcal{E}(z_b) \\ & =-\int_{z_a}^{z_b}\dfrac{d\mathcal{E}(z)}{dz}~\dif z. \end{split}$$ Puisque l’absorption doit être non négative, on doit bien sûr avoir $d\mathcal{E}(z)/dz \le 0$. Nous allons effectuer le calcul de $d\mathcal{E}(z)/dz$ pour les deux polarisations : cela nous conduira à des constatations importantes.

Polarisation $p$

En utilisant le fait que $$\dfrac{d}{dz}\begin{bmatrix} \fff{E}_x \\ Z_0 \fff{H}_y \end{bmatrix}= i\dfrac{\omega}{c}\begin{bmatrix} 0 & 1-\kappa_x^2/\eps’ \\ \eps’ & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \fff{E}_x \\ Z_0 \fff{H}_y \end{bmatrix},$$ il est facile d’arriver à $$\dfrac{d}{dz}\re\left[\fff{E}_x\left(\fff{H}_y\right)^*\right]=\dfrac{\omega}{c}\im\left[\dfrac{\kappa_x^2Z_0}{\eps’}\left|\fff{H}_y\right|^2+\dfrac{\left(\eps’\right)^*}{Z_0}\left|\fff{E}_x\right|^2\right].$$ Si on utilise maintenant la relation $$\fff{E}_z = -\dfrac{\kappa_x}{\eps’}Z_0 \fff{H}_y,$$ on peut conclure que $$\dfrac{d}{dz}\re\left[\fff{E}_x\left(\fff{H}_y\right)^*\right]=\dfrac{\omega}{Z_0c}\left[ \left| \fff{E}_x \right|^2+\left| \fff{E}_z \right|^2 \right]\im\left(\eps’\right)^*.$$

Polarisation $s$

Dans le cas de la polarisation $s$, $$\dfrac{d}{dz}\begin{bmatrix} \fff{E}_y \\ Z_0 \fff{H}_x \end{bmatrix}= i\dfrac{\omega}{c}\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ \kappa_x^2 -\eps’ & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \fff{E}_y \\ Z_0 \fff{H}_x \end{bmatrix}$$ conduit directement à $$\dfrac{d}{dz}\re\left[-\fff{E}_y\left(\fff{H}_x\right)^*\right]=\dfrac{\omega}{Z_0c}\left| \fff{E}_y \right|^2 \im\left(\eps’\right)^*$$

Conséquences

Il résulte directement des résultats qui précèdent et de la condition $d\mathcal{E}(z)/dz \le 0$ qu’on doit avoir $$\text{sgn}~\omega~\im~\eps’ \ge 0.$$

Puisqu’on a $$\zeta^2=\eps’-\kappa_x^2$$ où $\kappa_x$ est réel, avec notre choix pour l’argument de $\zeta$, on devra aussi avoir $$\begin{array} {rl} -\pi/2 \le \arg\zeta \le 0 & (\omega \lt 0) \\ 0 \le \arg\zeta \le\pi/2 & (\omega \gt 0). \end{array}$$

Finalement, on constate que, dans les milieux absorbants, l’absorption est proportionnelle au carré du champ électrique. Il y a donc un phénomène d’inter­férence au niveau de l’absorption entre les deux sens de propagation, ce qui rend impossible leur découplage.

5. Notes et références

Il n’y a pas de phénomène de couplage entre les polarisations $s$ et $p$ car les champs électriques des deux polarisations sont perpendiculaires (donc les absorptions pour les deux polarisations s’additionnent tout simplement).

Pour un point de vue similaire sur l’interaction entre les deux sens de propagation dans un milieu absorbant, voir l’article https://www.osapublishing.org/ol/abstract.cfm?uri=ol-36-20-3960.

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