Nous indiquon ici comment traiter le cas d'un substrat dont l'épaisseur est sensiblement plus grande que la longueur de cohérence de la lumière.
Nous avons vu au chapitre précédent comment tenir compte d'un substrat épais pour un empilement de couches minces isotropes. Nous voulons ici montrer comment calculer les matrices de Mueller lorsque les couches minces sont anisotropes. Pour simplifier les choses, nous supposerons d'abord que le substrat, lui, reste isotrope (ce qui couvre la majorité des situations
rencontrées en pratique) ;nous indiquons ensuite comment étendre la méthode à un substrat anisotrope.
Nous utiliserons les mêmes notations qu'au chapitre II ; comme précédemment, nous supposerons que les milieux entrant et sortant sont l'air ($n=1$), que le substrat est la dernière couche et que le champ incident vient de la gauche.
Nous voulons calculer les matrices de Jones $\mat{r}_{0\mkern 1mu (n+1)}$ et $\mat{t}_{0\mkern 1mu (n+1)}$ en utilisant la formule (14) de la page précédente. Puisque nous supposons que le substrat est isotrope, nous ferons aussi usage de la formule (15).
La première étape consiste à calculer les matrices de Jones entre le milieu entrant et le substrat : $\mat{r}_{0\mkern 1mu n}$, $\mat{t}_{0\mkern 1mu n}$, $\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}$ et $\mat{t}_{n\mkern 1mu 0}$. Nous aurons aussi besoin des matrices $\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}$ et $\mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}$. En supposant que le substrat a une permittivité diélectrique relative $\eps'_s$ et en posant $\zeta_s = \sqrt{\eps'_s-\ka_x^2}$ et $n_s = \sqrt{\eps'_s}$, avec les conventions de phase habituelles, ces dernières s'écrivent
$$\begin{array} {l} \mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)} = \begin{bmatrix} \dfrac{\zeta_s-\eps'_s\cos\theta_0}{\eps'_s\cos\theta_0+\zeta_s} & 0 \\ 0 & \dfrac{\zeta_s-\cos\theta_0}{\zeta_s+\cos\theta_0} \end{bmatrix}, \\ \mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)} = \begin{bmatrix} \dfrac{2n_s\zeta_s}{\eps'_s\cos\theta_0+\zeta_s} & 0 \\ 0 & \dfrac{2\zeta_s}{\zeta_s+\cos\theta_0} \end{bmatrix}, \end{array} \tag 1$$ où $\theta_0$ est l'angle d'incidence.
D'après les résultats de la page précédente, on aura $$\begin{split} \mat{r}_{0\mkern 1mu (n+1)} = \mat{r}_{0\mkern 1mu n}+e^{2 i \beta} & \mkern 5mu \mat{t}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)} \times \\ & (\mat{I}-e^{2 i \beta}\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)})^{-1}\mat{t}_{0\mkern 1mu n} \end{split} \tag{2}$$ et $$\mat{t}_{0\mkern 1mu (n+1)}=e^{i \beta}\mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}(\mat{I}-e^{2 i \beta}\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)})^{-1}\mat{t}_{0\mkern 1mu n}. \tag{3}$$ où $$\beta=(\omega /c)\zeta_s (z_n-z_{n-1}).$$
Les formules (2) et (3) contiennent toutes les deux un facteur $(\mat{I}-e^{2 i \beta}\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)})^{-1}.$ On peut montrer que si la matrice $e^{2 i \beta}\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}$ est « suffisamment petite », on aura¹
$(\mat{I}-e^{2 i \beta}\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)})^{-1}= \displaystyle\sum_{k=0}^\infty e^{2 i k\beta}(\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)})^k. \tag{4}$
Si on substitue (4) dans les formules (2) et (3), on obtient
$\mkern -25mu \mat{r}_{0\mkern 1mu (n+1)} = \mat{r}_{0\mkern 1mu n}+ \displaystyle\sum_{k=1}^\infty e^{2 ik\beta}\mat{t}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)} (\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)})^{k-1}\mat{t}_{0\mkern 1mu n}$
et $$\mkern -15mu \mat{t}_{0\mkern 1mu (n+1)}=\sum_{k=0}^\infty e^{ i (2k+1)\beta}\mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}(\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)})^k\mat{t}_{0\mkern 1mu n},$$ formules qui révèlent le même schéma de réflexions multiples que dans le cas isotrope.
Maintenant, prenons par exemple la matrice de polarisation du champ transmis : elle a la forme $$\boldsymbol\sigma_{tr} = \boldsymbol{\phi}_{tr} \boldsymbol{\phi}_{tr}^\dagger=\mat{t}_{0\mkern 1mu (n+1)}\boldsymbol{\phi}_{in} \boldsymbol{\phi}_{in}^\dagger \mat{t}_{0\mkern 1mu (n+1)}^\dagger =\mat{t}_{0\mkern 1mu (n+1)}\boldsymbol\sigma_{in}\mat{t}_{0\mkern 1mu (n+1)}^\dagger$$ et peut donc théoriquement s'écrire
$\boldsymbol\sigma_{tr} =\displaystyle\sum_{k,l=0}^\infty e^{ 2i (k-l)\re\beta}e^{ -2(k+l+1)\im\beta}\mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}(\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)})^k\mat{t}_{0\mkern 1mu n} \boldsymbol\sigma_{in}\mat{t}_{0\mkern 1mu n}^\dagger (\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}^\dagger\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}^\dagger)^l \mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}^\dagger . \tag{5}$
La formule, cependant, ne tient pas compte du fait que le substrat est épais : en réalité, des termes avec des chemins optiques différents dans le substrat auront une
phase relative aléatoire. Si on prend la moyenne temporelle d'un terme non diagonal dans la série double (5), le résultat sera nul. Il faut donc remplacer (5) par
$\boldsymbol\sigma_{tr} =\displaystyle\sum_{k=0}^\infty e^{ -(4k+2)\im\beta}\mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}(\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)})^k\mat{t}_{0\mkern 1mu n} \boldsymbol\sigma_{in}\mat{t}_{0\mkern 1mu n}^\dagger (\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}^\dagger\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}^\dagger)^k \mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}^\dagger , \tag 6$
expression qui permet de calculer une matrice de Mueller en transmission tenant compte de l'épaisseur du substrat.
Par un raisonnement analogue, on obtient pour la matrice de polarisation du champ réfléchi la formule
$\boldsymbol\sigma_{re} = \mat{r}_{0\mkern 1mu n}\boldsymbol\sigma_{in}\mat{r}_{0\mkern 1mu n}^\dagger + \displaystyle\sum_{k=1}^\infty e^{ -4k\im\beta}\mat{t}_{n\mkern 1mu 0} \mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}(\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)})^{k-1}\mat{t}_{0\mkern 1mu n}\boldsymbol\sigma_{in}\mat{t}_{0\mkern 1mu n}^\dagger (\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}^\dagger\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}^\dagger)^{k-1} \mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}^\dagger\mat{t}_{n\mkern 1mu 0}^\dagger \tag 7$
permettant de calculer la matrice de Mueller en réflexion.
¹ À cause des facteurs $e^{2 i k\beta}$, la convergence de la série (4) sera sensiblement accélérée si le substrat est tant soit peu absorbant.
Aussi bien en réflexion qu'en transmission, on obtient le résultat sous la forme $$\boldsymbol\sigma_{out}=\sum_{k=0}^\infty \mat J_k \boldsymbol\sigma_{in}\mat{J}_k^\dagger. \tag 8$$ Chacun des termes de cette série permet de calculer une matrice de Mueller-Jones $\mat M^{(k)} = \begin{bmatrix} m_{ij}^{(k)} \end{bmatrix}$ selon la
formule déjà vue $$m_{ij}^{(k)} = 2\tr(\boldsymbol{\sigma}_i\mat J_k \boldsymbol\sigma_j\mat{J}_k^\dagger ) = 2\tr(\mat J_k \boldsymbol\sigma_j \mat{J}_k^\dagger\boldsymbol{\sigma}_i). \tag 9$$ Les matrices de Mueller finales s'obtiennent alors en sommant ces matrices partielles : $$\mat M = \sum_{k=0}^\infty \mat M^{(k)}. \tag {10}$$
Il est possible de généraliser l'approche ci-dessus à un substrat épais anisotrope, à condition d'introduire une approximation. D'après la formule (14) de la page précédente, on aura pour un substrat anisotrope $$\begin{array} {c} \mat{r}_{0\mkern 1mu (n+1)} = \mat{r}_{0\mkern 1mu n}+ \mat{t}_{n\mkern 1mu 0}\boldsymbol\pi_-\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}\boldsymbol\pi_+ (\mat{I}-\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\boldsymbol\pi_-\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}\boldsymbol\pi_+)^{-1}\mat{t}_{0\mkern 1mu n} \\ \mat{t}_{0\mkern 1mu (n+1)}=\mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}\boldsymbol\pi_+(\mat{I}-\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\boldsymbol\pi_-\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}\boldsymbol\pi_+)^{-1}\mat{t}_{0\mkern 1mu n}. \end{array} \tag{11}$$ où $$\begin{array} {ccc} \boldsymbol\pi_+ = \begin{bmatrix} e^{i\beta_1} & 0 \\ 0 & e^{i\beta_3} \end{bmatrix}, & \boldsymbol\pi_- = \begin{bmatrix} e^{-i\beta_2} & 0 \\ 0 & e^{-i\beta_4} \end{bmatrix}, & \beta_{k}=\dfrac \omega c \mkern 1mu \zeta_{s, k} \mkern 1mu (z_n-z_{n-1}). \end{array} \tag {12}$$ Avec ces changements, les matrices de Jones deviennent $$\begin{array} {c} \mat{r}_{0\mkern 1mu (n+1)} = \mat{r}_{0\mkern 1mu n}+\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \mat{t}_{n\mkern 1mu 0}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_-\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)} \mkern 1mu \boldsymbol\pi_+(\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_-\mkern 1mu \mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_+)^{k-1}\mkern 1mu \mat{t}_{0\mkern 1mu n}, \\ \mat{t}_{0\mkern 1mu (n+1)}=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_+ (\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_-\mkern 1mu \mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_+)^k\mkern 1mu \mat{t}_{0\mkern 1mu n} \end{array} \tag {13}$$ où, bien sûr, on aura utilisé pour $\mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}$ et $\mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}$ les coefficients de Fresnel adéquats au lieu de la formule (1) ; les calculs de $\mat{r}_{0\mkern 1mu n}$, $\mat{t}_{0\mkern 1mu n}$, $\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}$ et $\mat{t}_{n\mkern 1mu 0}$ auront aussi été modifiés pour tenir compte de l'anisotropie du substrat.
On constate en pratique que les différences entre $\zeta_1$ et $\zeta_3$ et entre $\zeta_2$ et $\zeta_4$ sont souvent très faibles. L'approximation consiste donc à supposer qu'il n'y a pas de perte de cohérence entre les parties du faisceau qui ont subi un même nombre de réfractions et de réflexions, seulement entre celles qui ont fait un nombre différent d'allers-retours. Cela conduit, pour la matrice de polarisation du champ transmis, à l'expression $$\boldsymbol\sigma_{tr} =\sum_{k=0}^\infty \mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_+(\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_-\mkern 1mu \mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_+)^k \mkern 1mu \mat{t}_{0\mkern 1mu n}\mkern 1mu \boldsymbol\sigma_{in}\mkern 1mu \mat{t}_{0\mkern 1mu n}^\dagger ( \boldsymbol\pi_+^\dagger\mkern 1mu \mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}^\dagger\mkern 1mu \boldsymbol\pi_-^\dagger\mkern 1mu \mat{r}_{n\mkern 1mu 0}^\dagger)^k \mkern 1mu \mat{t}_{n\mkern 1mu (n+1)}^\dagger \tag {14}$$ et pour la matrice de polarisation du champ réfléchi, à $$\begin{split} \boldsymbol\sigma_{re} = \mat{r}_{0\mkern 1mu n}\mkern 1mu \boldsymbol\sigma_{in}\mkern 1mu \mat{r}_{0\mkern 1mu n}^\dagger + \sum_{k=1}^\infty & \mat{t}_{n\mkern 1mu 0}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_-\mkern 1mu \mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_+(\mat{r}_{n\mkern 1mu 0}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_-\mkern 1mu \mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}\mkern 1mu \boldsymbol\pi_+)^{k-1}\mat{t}_{0\mkern 1mu n}\mkern 1mu \boldsymbol\sigma_{in}\mkern 1mu \times \\ & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mat{t}_{0\mkern 1mu n}^\dagger (\boldsymbol\pi_+^\dagger\mkern 1mu \mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}^\dagger\mkern 1mu \boldsymbol\pi_-^\dagger\mkern 1mu \mat{r}_{n\mkern 1mu 0}^\dagger)^{k-1} \mkern 1mu \boldsymbol\pi_+^\dagger\mkern 1mu \mat{r}_{n\mkern 1mu (n+1)}^\dagger\mkern 1mu \boldsymbol\pi_-^\dagger\mkern 1mu \mat{t}_{n\mkern 1mu 0}^\dagger. \end{split} \tag {15}$$
Remarque. Il y a des circonstances où on voudrait que les matrices de Jones soient aussi proches que possible de celles du cas isotrope. On peut effectuer à cette fin les changements de variables $$\begin{array} {cc} \beta_{1, 3}=\beta_+\pm \delta\beta_+, & \beta_{2, 4}=-\beta_-\mp \delta\beta_-, \end{array} \tag {16}$$ ce qui permet d'écrire $$\begin{array} {cc} \boldsymbol\pi_+ = e^{i\beta_+} \begin{bmatrix} e^{i\delta\beta_+} & 0 \\ 0 & e^{-i\delta\beta_+} \end{bmatrix}, & \boldsymbol\pi_- = e^{i\beta_-} \begin{bmatrix} e^{i\delta\beta_-} & 0 \\ 0 & e^{-i\delta\beta_-} \end{bmatrix}. \end{array} \tag {17}$$