$\newcommand{\mat}[1]{\mathbf{#1}}$ $\newcommand{\fmat}[1]{\tilde{\mat{#1}}}$ $\newcommand{\ffmat}[1]{\check{\mat{#1}}}$ $\newcommand{\fffmat}[1]{\check{\tilde{\mat{#1}}}}$ $\newcommand{\f}[1]{\tilde{#1}}$ $\newcommand{\ff}[1]{\check{#1}}$ $\newcommand{\fff}[1]{\check{\tilde{#1}}}$ $\newcommand{\reels}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\eps}{\varepsilon}$ $\newcommand{\ka}{\kappa}$ $\newcommand{\xy}{\mathbin{/\mkern-4mu/}}$ $\DeclareMathOperator{\tr}{tr}$ $\DeclareMathOperator{\diag}{diag}$ $\DeclareMathOperator{\re}{Re}$ $\DeclareMathOperator{\im}{Im}$ $\DeclareMathOperator{\atan}{arctg}$

Couches minces anisotropes sur un substrat épais

Nous avons vu au chapitre précédent comment tenir compte d'un substrat épais pour un empilement de couches minces isotropes. Nous voulons ici montrer comment calculer les matrices de Mueller lorsque les couches minces sont anisotropes. Pour simplifier les choses, nous supposerons d'abord que le substrat, lui, reste isotrope (ce qui couvre la majorité des situations rencontrées en pratique) ; nous indiquons ensuite comment étendre la méthode à un substrat anisotrope.

Nous utiliserons les mêmes notations qu'au chapitre II ; comme précédemment, nous supposerons que les milieux entrant et sortant sont l'air ($n=1$).

1. Calculs préliminaires

La première étape consiste à calculer les matrices de Jones entre le milieu entrant et le substrat : $\mat{r}_{0\mkern 2mu n}$, $\mat{t}_{0\mkern 2mu n}$, $\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}$ et $\mat{t}_{n\mkern 2mu 0}$. Pour le milieu entrant, on utilisera les vecteurs propres donnés à la page II 8. Pour le substrat, de permittivité diélectrique relative $\eps'_s$, on utilisera les vecteurs propres $$\begin{array} {l} |~p, \pm \gt = \left[\pm \zeta_s/n_s~~~n_s~~~0~~~0\right]^T \\ |~s, \pm \gt = \left[0~~~0~~~1~~~\mp \zeta_s \right]^T \end{array}$$ où $\zeta_s = \sqrt{\eps'_s-\ka_x^2}$ et $n_s = \sqrt{\eps'_s}$, avec les conventions de phase habituelles. On aura pour la base duale $$\begin{array} {l} \lt p, \pm~| = \dfrac{1}{2}~\left[\pm n_s/\zeta_s~~~1/n_s~~~0~~~0\right], \\ \lt s, \pm~| = \dfrac{1}{2}~\left[0~~~0~~~1~~~\mp 1/\zeta_s \right]. \end{array}$$

Pour calculer les matrices $\mat{r}_{0\mkern 2mu n}$, etc, on procède avec ces vecteurs de manière tout à fait similaire à ce qui a été présenté au chapitre II.

On aura aussi besoin des matrices $$\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1} = \begin{bmatrix} \dfrac{\zeta_s-\eps'_s\cos\theta_0}{\eps'_s\cos\theta_0+\zeta_s} & 0 \\ 0 & \dfrac{\zeta_s-\cos\theta_0}{\zeta_s+\cos\theta_0} \end{bmatrix},$$ où $\theta_0$ est l'angle d'incidence et $$\mat{t}_{n\mkern 2mu n+1} = \begin{bmatrix} \dfrac{2n_s\zeta_s}{\eps'_s\cos\theta_0+\zeta_s} & 0 \\ 0 & \dfrac{2\zeta_s}{\zeta_s+\cos\theta_0} \end{bmatrix}.$$

2. Calcul des matrices de Jones

Nous allons maintenant calculer les matrices de Jones de l'empilement de couches minces plus le substrat comme si ce dernier lui aussi était mince. Pour cela, nous allons utiliser un formalisme similaire à celui des matrices de transfert : dans les milieux entrant et sortant, ainsi que dans le substrat, le vecteur $\boldsymbol\Phi(z)$ à la forme générale $$\begin{split} \boldsymbol\Phi(z) & = c_p^+(z)|~p, + \gt+c_p^-(z)|~p, - \gt \\ &+c_s^+(z)|~s, + \gt+c_s^-(z)|~s, - \gt \end{split}. \tag{1}$$ L'information contenue dans (1) peut être représentée en utilisant les deux vecteurs de Jones $$\begin{array} {ll} \boldsymbol{\phi}^+(z)=[c_p^+(z), c_s^+(z)]^T, & \boldsymbol{\phi}^-(z)=[c_p^-(z), c_s^-(z)]^T. \end{array}$$

Il faut être conscient que, contrairement au vecteur $\boldsymbol\Phi$, les vecteurs $\boldsymbol{\phi}^\pm$ ne sont pas continus aux interfaces car ils sont calculés dans chaque milieu en utilisant des vecteurs propres différents. Nous leur ajouterons donc des indices pour refléter ce fait.

Désignons par $\boldsymbol{\phi}_{in}$, $\boldsymbol{\phi}_{re}$ et $\boldsymbol{\phi}_{tr}$ les vecteurs de Jones inci­dent, réfléchi et transmis, respectivement : on aura $$\begin{array} {lll} \boldsymbol{\phi}_0^+(z_0)=\boldsymbol{\phi}_{in} & \boldsymbol{\phi}_0^-(z_0)=\boldsymbol{\phi}_{re} & \boldsymbol{\phi}_{n+1}^+(z_n)=\boldsymbol{\phi}_{tr} \end{array}$$

ainsi que $\boldsymbol{\phi}_{n+1}^-(z_n)=0$. On aura également les relations suivantes entre les vecteurs $\boldsymbol{\phi}^\pm$ en $z=z_0$, $z=z_{n-1}$ et $z=z_n$ : $$\begin{array} {l} \boldsymbol{\phi}_0^-(z_0)=\mat{r}_{0\mkern 2mu n}\boldsymbol{\phi}_0^+(z_0)+\mat{t}_{n\mkern 2mu 0}\boldsymbol{\phi}_n^-(z_{n-1}), \\ \boldsymbol{\phi}_n^+(z_{n-1})=\mat{t}_{0\mkern 2mu n}\boldsymbol{\phi}_0^+(z_0)+\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\boldsymbol{\phi}_n^-(z_{n-1}), \end{array} \\ \begin{array} {ll} \boldsymbol{\phi}_n^\pm(z_n)=e^{\pm i \beta}\boldsymbol{\phi}_n^\pm(z_{n-1}), & \beta=(\omega /c)\zeta_s (z_n-z_{n-1})\end{array}$$ et $$\begin{array} {ll} \boldsymbol{\phi}_n^-(z_n)=\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}\boldsymbol{\phi}_n^+(z_n), & \boldsymbol{\phi}_{n+1}^+(z_n)=\mat{t}_{n\mkern 2mu n+1}\boldsymbol{\phi}_n^+(z_n). \end{array}$$ Nous laissons en exercice la tâche de montrer que ces relations conduisent à $$\begin{array} {ll} \boldsymbol{\phi}_{re}=\mat{r}_{0\mkern 2mu n+1}\boldsymbol{\phi}_{in}, & \boldsymbol{\phi}_{tr}=\mat{t}_{0\mkern 2mu n+1}\boldsymbol{\phi}_{in}, \end{array}$$ où $\mat{r}_{0\mkern 2mu n+1}$ est donné par la formule $$\begin{split} \mat{r}_{0\mkern 2mu n+1} = \mat{r}_{0\mkern 2mu n}+e^{2 i \beta} & \mkern 5mu \mat{t}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1} \times \\ & (\mat{I}-e^{2 i \beta}\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1})^{-1}\mat{t}_{0\mkern 2mu n} \end{split} \tag{2}$$ et $\mat{t}_{0\mkern 2mu n+1}$ par $$\mat{t}_{0\mkern 2mu n+1}=e^{i \beta}\mat{t}_{n\mkern 2mu n+1}(\mat{I}-e^{2 i \beta}\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1})^{-1}\mat{t}_{0\mkern 2mu n}. \tag{3}$$

3. Calcul des matrices de polarisation

Les formules (2) et (3) contiennent toutes les deux un facteur $(\mat{I}-e^{2 i \beta}\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1})^{-1}.$ On peut montrer que si la matrice $e^{2 i \beta}\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}$ est « suffisamment petite », on aura¹

$(\mat{I}-e^{2 i \beta}\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1})^{-1}= \displaystyle\sum_{k=0}^\infty e^{2 i k\beta}(\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1})^k. \tag{4}$

Si on substitue (4) dans les formules (2) et (3), on obtient

$\mkern -25mu \mat{r}_{0\mkern 2mu n+1} = \mat{r}_{0\mkern 2mu n}+ \displaystyle\sum_{k=1}^\infty e^{2 ik\beta}\mat{t}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1} (\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1})^{k-1}\mat{t}_{0\mkern 2mu n}$

et $$\mkern -15mu \mat{t}_{0\mkern 2mu n+1}=\sum_{k=0}^\infty e^{ i (2k+1)\beta}\mat{t}_{n\mkern 2mu n+1}(\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1})^k\mat{t}_{0\mkern 2mu n},$$ formules qui révèlent le même schéma de réflexions multiples que dans le cas isotrope.

Maintenant, prenons par exemple la matrice de polari­sation du champ trans­mis : elle a la forme $$\boldsymbol\sigma_{tr} = \boldsymbol{\phi}_{tr} \boldsymbol{\phi}_{tr}^\dagger=\mat{t}_{0\mkern 2mu n+1}\boldsymbol{\phi}_{in} \boldsymbol{\phi}_{in}^\dagger \mat{t}_{0\mkern 2mu n+1}^\dagger =\mat{t}_{0\mkern 2mu n+1}\boldsymbol\sigma_{in}\mat{t}_{0\mkern 2mu n+1}^\dagger$$ et peut donc théoriquement s'écrire

$\boldsymbol\sigma_{tr} =\displaystyle\sum_{k,l=0}^\infty e^{ 2i (k-l)\re\beta}e^{ -2(k+l+1)\im\beta}\mat{t}_{n\mkern 2mu n+1}(\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1})^k\mat{t}_{0\mkern 2mu n} \boldsymbol\sigma_{in}\mat{t}_{0\mkern 2mu n}^\dagger (\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}^\dagger\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}^\dagger)^l \mat{t}_{n\mkern 2mu n+1}^\dagger . \tag{5}$

La formule, cependant, ne tient pas compte du fait que le substrat est épais : en réalité, des termes avec des che­mins optiques différents dans le substrat auront une

phase relative aléatoire. Si on prend la moyenne tempo­relle d'un terme non diagonal dans la série dou­ble (5), le résultat sera nul. Il faut donc remplacer (5) par

$\boldsymbol\sigma_{tr} =\displaystyle\sum_{k=0}^\infty e^{ -(4k+2)\im\beta}\mat{t}_{n\mkern 2mu n+1}(\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1})^k\mat{t}_{0\mkern 2mu n} \boldsymbol\sigma_{in}\mat{t}_{0\mkern 2mu n}^\dagger (\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}^\dagger\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}^\dagger)^k \mat{t}_{n\mkern 2mu n+1}^\dagger ,$

expression qui permet de calculer une matrice de Mueller en transmission tenant compte de l'épaisseur du substrat.

Par un raisonnement analogue, on obtient pour la matrice de polarisation du champ réfléchi la formule

$\boldsymbol\sigma_{re} = \mat{r}_{0\mkern 2mu n}\boldsymbol\sigma_{in}\mat{r}_{0\mkern 2mu n}^\dagger + \displaystyle\sum_{k=1}^\infty e^{ -4k\im\beta}\mat{t}_{n\mkern 2mu 0} \mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}(\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1})^{k-1}\mat{t}_{0\mkern 2mu n}\boldsymbol\sigma_{in}\mat{t}_{0\mkern 2mu n}^\dagger (\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}^\dagger\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}^\dagger)^{k-1} \mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}^\dagger\mat{t}_{n\mkern 2mu 0}^\dagger $

permettant de calculer la matrice de Mueller en réflexion.

______________________________________________________________________________

¹ À cause des facteurs $e^{2 i k\beta}$, la convergence de la série (4) sera sensiblement accélérée si le substrat est tant soit peu absorbant.

4. Calcul des matrices de Mueller

Aussi bien en réflexion qu'en transmission, on obtient le résultat sous la forme $$\boldsymbol\sigma_{out}=\sum_{k=0}^\infty \mat J_k \boldsymbol\sigma_{in}\mat{J}_k^\dagger.$$ Chacun des termes de cette série permet de calculer une matrice de Mueller-Jones $\mat M^{(k)} = \begin{bmatrix} m_{ij}^{(k)} \end{bmatrix}$ selon la

formule déjà vue $$m_{ij}^{(k)} = 2\tr(\boldsymbol{\sigma}_i\mat J_k \boldsymbol\sigma_j\mat{J}_k^\dagger ) = 2\tr(\mat J_k \boldsymbol\sigma_j \mat{J}_k^\dagger\boldsymbol{\sigma}_i).$$ Les matrices de Mueller finales s'obtiennent alors en sommant ces matrices partielles : $$\mat M = \sum_{k=0}^\infty \mat M^{(k)}.$$

5. Compléments, notes et références

Extension de la méthode à un substrat épais anisotrope

Il est possible de généraliser l'approche ci-dessus à un substrat épais anisotrope à condition d'introduire une approximation. Désignons par $\zeta_i$ et $|\mkern 2mu i \gt$ les valeurs et vecteurs propres de la matrice $\Delta$ pour le substrat et supposons comme auparavant que les vecteurs propres d'indices 1 et 3 se propagent vers la droite, ceux d'indices 2 et 4 vers la gauche. En prenant dans le substrat $$\begin{array} {lll} \boldsymbol\Phi(z) = \displaystyle\sum_{i=1}^4 c_i(z)|\mkern 2mu i \gt, & \boldsymbol{\phi}_n^+(z)=[c_1(z),\mkern 2mu c_3(z)]^T, & \boldsymbol{\phi}_n^-(z)=[c_2(z),\mkern 2mu c_4(z)]^T, \end{array}$$

on aura maintenant $$\begin{array} {ccc} \boldsymbol{\phi}_n^+(z_n)=\boldsymbol\pi_+\boldsymbol{\phi}_n^+(z_{n-1}), & \boldsymbol\pi_+ = \begin{bmatrix} e^{i\beta_1} & 0 \\ 0 & e^{i\beta_3} \end{bmatrix}, & \beta_{1,3}=\dfrac \omega c \mkern 2mu \zeta_{1,3} \mkern 2mu (z_n-z_{n-1}), \\ \boldsymbol{\phi}_n^-(z_{n-1})=\boldsymbol\pi_-\boldsymbol{\phi}_n^-(z_n), & \boldsymbol\pi_- = \begin{bmatrix} e^{i\beta_2} & 0 \\ 0 & e^{i\beta_4} \end{bmatrix}, & \beta_{2,4}=\dfrac \omega c \mkern 2mu \zeta_{2,4} \mkern 2mu (z_{n-1}-z_n). \end{array}$$ Avec ces changements, les matrices de Jones deviennent $$\begin{array} {c} \mat{r}_{0\mkern 2mu n+1} = \mat{r}_{0\mkern 2mu n}+\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \mat{t}_{n\mkern 2mu 0}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_-\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1} \mkern 2mu \boldsymbol\pi_+(\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_-\mkern 2mu \mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_+)^{k-1}\mkern 2mu \mat{t}_{0\mkern 2mu n}, \\ \mat{t}_{0\mkern 2mu n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \mat{t}_{n\mkern 2mu n+1}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_+ (\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_-\mkern 2mu \mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_+)^k\mkern 2mu \mat{t}_{0\mkern 2mu n} \end{array}$$ où, bien sûr, on aura utilisé pour $\mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}$ et $\mat{t}_{n\mkern 2mu n+1}$ les coefficients de Fresnel adéquats ; les calculs de $\mat{r}_{0\mkern 2mu n}$, $\mat{t}_{0\mkern 2mu n}$, $\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}$ et $\mat{t}_{n\mkern 2mu 0}$ auront aussi été modifiés pour tenir compte de l'anisotropie du substrat.

On constate en pratique que les différences entre $\zeta_1$ et $\zeta_3$ et entre $\zeta_2$ et $\zeta_4$ sont souvent très faibles. L'approximation consiste donc à supposer qu'il n'y a pas de perte de cohérence entre les parties du faisceau qui ont subi un même nombre de réflexions, seulement entre celles qui ont fait un nombre différent d'allers-retours. Cela conduit, pour la matrice de polarisation du champ transmis, à l'expression $$\boldsymbol\sigma_{tr} =\sum_{k=0}^\infty \mat{t}_{n\mkern 2mu n+1}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_+(\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_-\mkern 2mu \mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_+)^k \mkern 2mu \mat{t}_{0\mkern 2mu n}\mkern 2mu \boldsymbol\sigma_{in}\mkern 2mu \mat{t}_{0\mkern 2mu n}^\dagger ( \boldsymbol\pi_+^\dagger\mkern 2mu \mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}^\dagger\mkern 2mu \boldsymbol\pi_-^\dagger\mkern 2mu \mat{r}_{n\mkern 2mu 0}^\dagger)^k \mkern 2mu \mat{t}_{n\mkern 2mu n+1}^\dagger$$ et pour la matrice de polarisation du champ réfléchi, à $$\boldsymbol\sigma_{re} = \mat{r}_{0\mkern 2mu n}\mkern 2mu \boldsymbol\sigma_{in}\mkern 2mu \mat{r}_{0\mkern 2mu n}^\dagger + \sum_{k=1}^\infty \mat{t}_{n\mkern 2mu 0}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_-\mkern 2mu \mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_+(\mat{r}_{n\mkern 2mu 0}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_-\mkern 2mu \mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}\mkern 2mu \boldsymbol\pi_+)^{k-1}\mat{t}_{0\mkern 2mu n}\mkern 2mu \boldsymbol\sigma_{in}\mkern 2mu \mat{t}_{0\mkern 2mu n}^\dagger (\boldsymbol\pi_+^\dagger\mkern 2mu \mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}^\dagger\mkern 2mu \boldsymbol\pi_-^\dagger\mkern 2mu \mat{r}_{n\mkern 2mu 0}^\dagger)^{k-1} \mkern 2mu \boldsymbol\pi_+^\dagger\mkern 2mu \mat{r}_{n\mkern 2mu n+1}^\dagger\mkern 2mu \boldsymbol\pi_-^\dagger\mkern 2mu \mat{t}_{n\mkern 2mu 0}^\dagger.$$

Remarque. Il y a des circonstances où on voudrait que les matrices de Jones soient aussi proches que possible de celles du isotrope. On peut effectuer à cette fin les changements de variables $$\begin{array} {cc} \beta_{1, 3}=\bar\beta_+\pm \delta\beta_+, & \beta_{2, 4}=\bar\beta_-\pm \delta\beta_-, \end{array}$$ ce qui permet d'écrire $$\begin{array} {cc} \boldsymbol\pi_+ = e^{i\bar\beta_+} \begin{bmatrix} e^{i\delta\beta_+} & 0 \\ 0 & e^{-i\delta\beta_+} \end{bmatrix}, & \boldsymbol\pi_- = e^{i\bar\beta_-} \begin{bmatrix} e^{i\delta\beta_-} & 0 \\ 0 & e^{-i\delta\beta_-} \end{bmatrix}. \end{array}$$

Accueil