Le théorème fondamental

Le théorème fonda­mental fait le lien entre le calcul diffé­rentiel et le calcul intégral.

1 Le théorème fondamental

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. On peut utliser l'intégration pour lui associer une fonction $F$ définie sur le même intervalle par la formule

$F(x) = \int_a^x f(t)~dt$.

Cette fonction $F$ est très par­ti­culière : on peut montrer

Graphe de la fonction $F$ définie par $F(x) = \int_a^x f(t)~dt$. Le graphe de $f$ est en bleu, celui de $F$ en rouge.

qu'elle est déri­vable sur l'in­ter­valle $]a, b[$ et que sa dérivée n'est autre que $f$ : c'est le théorème fonda­mental du calcul diffé­rentiel et intégral.

Théorème 1. Soit $f$ une fonction continue sur l'inter­valle $[a, b]$. La fonction

$F(x) = \int_a^x f(t)~dt~(a \le x \le b)$

est continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$ et

$F'(x) = f(x)~(a \lt x \lt b)$.

Remarque 1. Le résultat du théorème 1 peut s'écrire

$\dfrac{d}{dx} \left [\int_a^x f(t)~dt \right ] = f(x)$

Il exprime que, d'une certaine manière, intégration et déri­va­tion sont deux opérations inverses l'une de l'autre.

Remarque 2. Si la fonction $f$ était seulement con­ti­nue par morceaux sur l'intervalle $[a, b]$, le gra­phe de la fonction $F$ aurait alors des points anguleux aux valeurs de $x$ où $f$ fait des sauts.

Il résulte du théorème 1 que si $f$ est une fonction con­ti­nue sur un intervalle ouvert $I$ qui contient le point $a$,

alors la fonction $F$ définie par

$F(x) = \int_a^x f(t)~dt$

est une primitive de $f$ sur $I$. Ceci, joint aux résultats de la section précédente, entraîne la formule de Newton-Leibniz :

Théorème 2. Soit $f$ une fonction continue sur l'inter­valle ouvert $I$ et soit $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. Pour $a$ et $b$ dans $I$, on a

$\int_a^b f(x)~dx = F(b)-F(a)$.

Preuve : Posons $G(x) = \int_a^x f(t)~dt$. On a $G(a) = 0$, et donc

$\int_a^b f(t)~dt = G(b) = G(b)-G(a)$.

Si $F$ est une autre primitive de $f$ sur $I$, on doit avoir $G(x) = F(x)+C$ pour une certaine constante $C$, d'où

$\begin{align} G(b)-G(a) & = F(b)+C-[F(a)+C] \\ & = F(b)-F(a). \\ \end{align}$

On a donc

$\int_a^b f(x)~dx = \int_a^b f(t)~dt = F(b)-F(a)$.

Définition 1. On définit la variation de $F$ entre $a$ et $b$ par

$F(x) \big|_a^b = F(b)-F(a)$.

On utilise aussi la notation $ \big[F(x)\big]_a^b $.

Avec ces notations, la formule de Newton-Leibniz s'écrit

$\int_a^b f(x)~dx = F(x)\big|_a^b$

ou encore

$\int_a^b f(x)~dx = \big[F(x)\big]_a^b$.

Exemple 1. $\frac {1} {4} x^4$ est une primitive de $x^3$ sur $\mathbb{R}$, donc

$\int_1^2 x^3~dx = \big[\frac {1} {4} x^4\big]_1^2 = \frac {15} {4}$.

2 Vidéos

Vidéo #1. Le théorème fondamental I.
Vidéo #2. Le théorème fondamental II.

3 Exercices

Exercice 1. Déterminez laquelle des fonctions suivantes pourrait être égale à $\int_0^x 3t^5~dt$

a) $15x^4$; b) $x^6/2$; c) $3x^5/5$;
d) Aucune de ces réponses.

Exercice 2. Calculez $f'(x)$ et $f"(x)$ si

a) $f(x)= \int_0^x e^{2t}~dt$; b) $f(x)= \int_x^0 e^{2t}~dt$;
c) $f(x)= \int_0^{x^2} e^{2t}~dt$; d) $f(x)= \int_{3x}^{x^2} e^{2t}~dt$.

Exercice 3. Soit $f$ une fonction continue et soit $g(x)=\int_{0}^{x} f(t)~dt$. Que peut on dire de $f$ sur un intervalle $I$ où $g$ est a) croissante; b) décroissante ?

Exercice 4. Soit $g(x)=\int_{0}^{x} f(t)~dt$ où $f$ est la

fonction dont le graphe est re­pré­senté dans la figure ci-contre.

a) Déterminez pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la fonction $g$ a un maximum local;

b) Déterminez pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la fonction $g$ a un minimum local;

c) Où $g$ atteint-elle son maximum absolu ?

d) Où $g$ atteint-elle son minimum absolu ?

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