On verra dans la section suivante comment calculer les intégrales en utilisant les primitives, que nous allons définir ici.
Définition 1. Soient $I$ un intervalle ouvert, $f$ et $F$ deux fonctions définies sur $I$. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ si $f$ est la dérivée de $F$ sur $I$.
Exemple 1. $\frac {1} {4} x^4$ est une primitive de $x^3$ sur $\mathbb{R}$ puisque pour tout $x$, on a $\left(\frac {1} {4} x^4\right)'=x^3$ ; $ \frac {1} {4} x^4 +5$ est également une primitive de $x^3$ sur $\mathbb{R}$ puisqu'on a aussi $\left(\frac {1} {4} x^4 +5\right)'=x^2$.
Remarque 1. Si $F$ est une primitive de $f$ et si $C$ est une constante, alors $G = F+C$ sera aussi une primitive de $f$ sur le même intervalle ouvert, puisque
$G'(x) = \left(F(x)+C\right)' = F'(x)$.
En fait, toutes les primitives d'une fonction donnée $f$ s'obtiennent de cette manière :
Théorème 1. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et soit $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. Si $G$ est une autre primitive de $f$ sur le même intervalle, alors il existe une constante $C$ telle que
$G(x)=F(x)+C$, $\forall x \in I$.
Preuve : Si $F$ et $G$ sont deux primitives de la fonction $f$, on aura
$\dfrac{d}{dx} \left(G(x)-F(x)\right) = G'(x)-F'(x) = 0$.
sur l'intervalle $I$. D'après le théorème des accroissements finis, $\forall a$, $b \in I$, on doit avoir
$G(b)-F(b)-\left(G(a)-F(a)\right) = 0(b-a) = 0$.
Il doit donc exister une constante $C$ telle que
$G(x)-F(x) = C$, $\forall x \in I$
Les résultats suivants sont une conséquence directe des propriétés des dérivées :
Proposition 1. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un même intervalle ouvert $I$ et soit $c$ une constante.
Finalement, voici une courte table des primitives les plus courantes :
| Fonction | Primitive |
|---|---|
| $x^n$ ($n \ne -1)$ | $\dfrac {x^{n+1}}{n+1}$ |
| $\dfrac {1}{x}$ | $\ln |x|$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ |
| $\dfrac {1}{\cos^2 x}$ | $\text{tg}~x$ |
| $\dfrac {1}{\sin^2 x}$ | $-\text{cotg}~x$ |
| $\dfrac {1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\text{arcsin}~x$ |
| $\dfrac {1}{1+x^2}$ | $\text{arctg}~x$ |
Exercice 1. Calculez une primitive de chacune des fonctions suivantes :
| a) $x^2+5x+7$; | b) $(x+1)^2$; |
| c) $\dfrac{x^3+x^2}{x}$; | d) $\dfrac{x+2}{\sqrt{x}}$. |
Remarque 2. On sait que si $f(x)$ est la dérivée de $F(x)$, alors pour $a \in \mathbb{R}$, la dérivée de $F(ax)$ sera $af(ax)$. Donc, si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$ et si $a \ne 0$, $\dfrac{1}{a}F(ax)$ sera une primitive de $f(ax)$ car
$\dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{a} F(ax) = \dfrac{a}{a} F'(ax) = f(ax)$.
Exercice 2. Utilisez la remarque 2 pour calculer une primitive de chacune des fonctions
| a) $(5x)^6$; | b) $\dfrac{1}{4x}$; |
| c) $\sqrt{9x}$; | d) $\sqrt[3]{8x}$. |
Auriez-vous pu obtenir vos réponses autrement ?
Exercice 3. Calculez une primitive de chacune des fonctions suivantes :
| a) $\cos(3x)-\sin(2x)$; | b) $e^x+2e^{-x}+3e^{2x}$; |
| c) $\dfrac{1}{\sqrt{1-4x^2}}$; | d) $\dfrac{1}{x^2+9}$. |