Voici quelques propriétés de base des intégrales définies.
Voici quelques propriétés importantes des intégrales définies. Dans cette section, nous utiliserons l'abréviation « SR » pour « somme(s) de Riemann ».
Proposition 1. On a :
Preuve : $\Delta x$, et donc les SR, changent de signe si on intervertit les bornes d'intégration. Aussi, si les deux bornes sont égales, $\Delta x$ et les SR seront nuls. D'où le résultat quand on passe à la limite.
Proposition 2. \(\int_a^b c~dx = c(b-a)\).
Preuve : Si l'intégrande est une constante $c$, toutes les SR seront égales à
$\sum_{i=1}^n c \Delta x = n c \Delta x = c(b-a)$.
Donc, l'intégrale aura la même valeur.
Théorème 1. On a :
Preuve : D'après le théorème de la section sur les sommes, une SR pour $cf$ peut s'écrire comme $c$ fois une SR pour $f$. Également, une SR pour $f \pm g$ peut s'écrire comme une SR pour $f$ plus ou moins une SR pour $g$. En passant à la limite, on obtient le théorème.
On ne démontrera pas la proposition suivante, qui est intuitivement évidente lorsqu'on interprête l'intégrale comme l'aire de la région située entre une courbe et l'axe des $x$.
Proposition 3. On a :
\(\int_a^c f(x)~dx+\int_c^b f(x)~dx = \int_a^b f(x)~dx.\)
Théorème 2. Si $f(x) \ge 0$ sur $[a, b]$, alors
$\int_a^b f(x)~dx \ge 0$.
Preuve : Si l'intégrande est non-négative sur l'intervale d'intégration, les SR le seront aussi. D'où le résultat en passant à la limite.
Corollaire 1. Si $f(x) \le g(x)$ sur $[a, b]$, alors
$\int_a^b f(x)~dx \le \int_a^b g(x)~dx$.
Preuve : Puisqu'on a $g(x)-f(x) \ge 0$ sur $[a, b]$, d'après le théorème 2, on aura
$\int_a^b [g(x)-f(x)]~dx = \int_a^b g(x)~dx - \int_a^b f(x)~dx \ge 0$.
Corollaire 2. Si $m \le f(x) \le M$ sur $[a, b]$, alors
$m(b-a) \le \int_a^b f(x)~dx \le M(b-a)$.
Preuve : D'après le corollaire 1, on aura
$\int_a^b m~dx \le \int_a^b f(x)~dx \le \int_a^b M~dx$.
c'est-à-dire, selon la proposition 2,
$m(b-a) \le \int_a^b f(x)~dx \le M(b-a)$.
Exercice 1. Calculez $\int_{3}^{7} f(x)~dx$ si
a) $\int_{3}^{4} f(x)~dx=5$ et $\int_{4}^{7} f(x)~dx=9$;
b) $\int_{3}^{10} f(x)~dx=23$ et $\int_{7}^{10} f(x)~dx=12$;
c) $\int_{0}^{3} f(x)~dx=7$ et $\int_{0}^{7} 2f(x)~dx=6$;
d) $\int_{0}^{10} f(x)~dx=25$, $\int_{0}^{7} f(x)~dx=11$ et $\int_{3}^{10} f(x)~dx=15$.
Exercice 2. Montrez qu'on doit avoir :
| a) | $1 \le \int_{0}^{1} e^x~dx \le e$; |
| b) | $-14\pi \le \int_{\pi}^{3\pi} 7 \cos( x /2)~dx \le 0$; |
| c) | $\dfrac{1} {\sqrt{3}} \le \int_{1}^{2} \text{tg} (x/6)~dx \le \sqrt{3}$; |
| d) | $2\pi \le \int_{0}^{\pi} (3 \sin x +2)~dx \le 5 \pi$. |