Jusqu'à présent, on a parlé d'intégrales sur des intervalles finis. Voyons comment on peut définir une intégrale sur un intervalle infini.
Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[a, \infty[$ qui est intégrable sur $[a,b], \forall b>a$. Il peut être possible de définir l'intégrale de cette fonction de $a$ à l'infini de la manière suivante :
Définition 1. On définit $$\int_{a}^{\infty} f(x)~dx = \lim_{t\to\infty} \int_{a}^{t} f(x)~dx$$ si la limite existe, auquel cas on dit que l'intégrale converge (sinon on dit qu'elle diverge).
Remarque 1. On qualifie cette intégrale d'impropre pour signaler qu'il s'agit d'une définition élargie par rapport à la définition originale.
Problème 1. Montrez que l'intégrale impropre $$I = \int_{1}^{\infty} \frac {1}{x^2}~dx$$ converge et calculez sa valeur.
Solution : On a $$I = \lim_{t\to\infty} \int_{1}^{t} \frac {1}{x^2}~dx = \lim_{t\to\infty} \left[ \frac {-1}{x} \right]_1^t = 1.$$
Définition 2. On définit de manière analogue l'intégrale $\int_{-\infty}^{b} f(x)~dx$ pour une fonction $f$ définie sur un intervalle $]-\infty,b]$.
Si une fonction est définie sur $\mathbb{R}$ au complet, on peut aussi définir
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)~dx=\int_{-\infty}^{c} f(x)~dx+\int_{c}^{\infty} f(x)~dx$
pourvu que les deux intégrales impropres convergent (auquel cas la valeur choisie pour $c$ n'a pas d'importance).
Problème 2. Montrez que l'intégrale impropre $$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac {1}{1+x^2}~dx$$ converge et calculez sa valeur.
Solution : On peut décomposer $I$ en $$I = I_1+I_2$$ où $$\begin{split} I_1 & = \int_{-\infty}^{0} \frac {1}{1+x^2}dx = \lim_{t\to-\infty} \int_{t}^{0} \frac {1}{1+x^2}~dx \\& = \lim_{t\to-\infty} \big[ \atg ~x \big]_t^0 =\frac {\pi}{2} \end{split}$$ et $$\begin{split} I_2 & = \int_{0}^{\infty} \frac {1}{1+x^2}dx = \lim_{t\to\infty} \int_{0}^{t} \frac {1}{1+x^2}~dx \\ & = \lim_{t\to\infty} \big[ \atg ~x \big]_0^t = \frac {\pi}{2}. \end{split}$$
Puisque les intégrales impropres $I_1$ et $I_2$ convergent toutes les deux, on peut affirmer que $I$ converge et
que $$I = I_1+I_2 = \frac {\pi}{2}+\frac {\pi}{2} = \pi.$$
Pour qu'une fonction continue $f(x)$ soit intégrable entre un nombre $a$ et l'infini, il faut qu'elle tende vers zéro quand $x$ tend vers l'infini. Ce qui détermine alors si l'intégrale impropre converge, c'est la vitesse à laquelle la fonction tend vers zéro. On a le résultat suivant :
Proposition 1. L'intégrale impropre $$ \int_1^\infty \dfrac {1}{x^\alpha}~dx$$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
Preuve : On a
$\int_1^t x^{-\alpha}~dx = \dfrac {x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \bigg|_1^t = \dfrac {1-t^{1-\alpha}}{\alpha -1}$
si $\alpha \neq -1$ et
$\int_1^t x^{-1}~dx = \ln x \big|_1^t = \ln t$.
L'intégrale impropre diverge si $\alpha \le 1$ et converge si $\alpha > 1$.
Dans certaines circonstances, on désirerait déterminer si une intégrale impropre converge ou diverge alors qu'on n'est pas capable de faire les calculs explicitement. Un exemple classique est fourni par la fonction $ e^{-x^2}$ car on sait que ses primitives ne peuvent pas être exprimées en utilisant des fonctions élémentaires. Dans de tels cas, le théorème de comparaison suivant peut être utile :
Théorème 1. Soient $f$ et $g$ deux fonction continues sur l'intervalle $[a, \infty[$ satisfaisant $0 \le f(x) \le g(x)$, $\forall x \ge a$. Alors :
Problème 3. Montrer que $$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx$$ converge.
Solution : En fait, il suffit de montrer que $$\int_a^{\infty} e^{-x^2}dx$$ converge pour une certaine valeur de $a$. Or, on sait que pour $x$ suffisament grand, on a $$0 \le e^{-x^2} \le 1/x^2$$ (il existe différentes manières de le montrer) et que $\forall a > 0$, $$\int_{a}^{\infty} \dfrac {1}{x^2}dx$$ converge (voir le problème 1). La convergence de $\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx$ est donc assurée par le théorème.
Exercice 1. Déterminez si l’intégrale impropre $\int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x+x^2}~dx$ est convergente ou divergente. Donnez sa valeur si elle est convergente.
Exercice 2. L’intégrale impropre $\int_{1}^{\infty} \dfrac{1+\sin^2 x}{\sqrt{x}}~dx$ est-elle convergente ou divergente ? Expliquez pourquoi.