Les intégrales trigonométriques fournissent de beaux exemples d'utilisation de la méthode d'intégration par substitution.
Quand une intégrale contient seulement des sinus et des cosinus de $x$, on essaie en général de se ramener à une intégrale qui se calcule en faisant un changement de variable $u= \sin x$ ou $u = \cos x$. Ces intégrales sont de la forme
$\int f(\sin x)\cos x~d x = F(\sin x)+C$
ou
$\int f(\cos x)\sin x~d x = -F(\cos x)+C$
$F$ étant une primitive de $f$. Si nécessaire, on utilise l'identité
$\\sin^2 x+\cos^2 x=1$.
pour passer de sinus à des cosinus ou vice-versa.
Exemple 1. On veut calculer $\int \tg~x~dx$. On utilise le changement de variable $u = \cos x$ :
$\int \tg~x~dx = \int \dfrac {\sin x} {\cos x} ~dx = - \int \dfrac {du} {u} = $
$-\ln |u| +C= -\ln |\cos x|+C$.
Exemple 2. On veut calculer $\int \cos^3x~dx$. On utilise le changement de variable $u = \sin x$ :
$\int \cos^3x~dx = \int \cos^2 x \cos x ~dx =$
$\int ( 1-\sin^2 x ) \cos x~dx = \int ( 1-u^2 ) ~du = $
$u- \frac {1} {3} u^3+C = \sin x- \frac {1} {3} \sin^3 x+C$.
On rencontre souvent des intégrales de la forme
$\int \sin mx \sin nx~d x$
$\int \sin mx \cos nx~d x$,
ou
$\int \cos mx \cos nx~d x$.
Elles se calculent en utilisant les identités
$\sin a \sin b = \frac {1} {2} \left[\cos(a-b) - \cos(a+b) \right]$
$\sin a \cos b = \frac {1} {2} \left[\sin(a-b) + \sin(a+b) \right]$
et
$\cos a \cos b = \frac {1} {2} \left[\cos(a-b) + \cos(a+b) \right]$
Exemple 3.
$\int \sin 2x \cos 3x~d x = \frac {1} {2} \int \left[\sin(-x) + \sin 5x \right]~d x =$
$\frac {1} {2} \cos x-\frac {1} {10} \cos 5x+C$.
À venir.