On vient de voir un exemple de technique d'intégration qui est le résultat direct d'une formule de calcul différentiel. Un autre exemple est la technique d'intégration par parties, qui résulte directement de la formule de dérivation pour un produit de fonctions.
Rappel 1. Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables en un point $x$. Alors leur produit est dérivable au même point et
$\dfrac {d} {d x} \left ( f(x)g(x) \right ) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.
On peut réécrire la formule sous la forme
$f(x)g'(x) = \dfrac {d} {d x} \left ( f(x)g(x) \right ) - f'(x)g(x)$,
ce qui conduit au résultat suivant :
Proposition 1. Si $f$, $g$ et leurs dérivées sont continues sur un intervalle $I$, on a la formule d'intégration par parties
$\int f(x)g'(x)~d x = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x)~d x$.
Preuve. Il suffit de prendre l'intégrale indéfinie des deux membres de l'équation plus haut et de noter que $f(x)g(x)$ est une primitive de $\dfrac {d} {d x} \left ( f(x)g(x) \right )$. Il n'est pas nécessaire d'ajouter une constante arbitraire au deuxième membre car il y a déjà une constante arbitraire contenue dans l'intégrale indéfinie qui y figure.
Exemple 1. On veut calculer $\int x \cos x ~d x$. Prenons $f(x) = x$ et $g'(x) = \cos x$ : on trouve facilement $f'(x) = 1$ et $g(x) = \sin x$. Donc,
$\int x \cos x ~d x = x \sin x - \int \sin x ~d x$
$= x \sin x + \cos x + C$
(la constante étant arbitraire, on peut écrire $+C$ au lieu de $-C$).
Remarque 1. Beaucoup de gens aiment introduire formellement les variables $u=f(x)$ et $v=g(x)$. Avec $du=f'(x)dx$ et $dv=g'(x)dx$, la formule devient
$\int ud v = uv- \int vd u$.
qui est assez facile à retenir.
Lorsqu'on travaille avec des intégrales définies, il faut faire intervenir les bornes d'intégration dans la formule. Cela donne le résultat suivant, qui est facile à démontrer :
Proposition 2. Si $f$, $g$ et leurs dérivées sont continues sur un intervalle $[a,b]$, on a
$\int_a^b f(x)g'(x)~d x = \big[ f(x)g(x) \big]_a^b- \int_a^b f'(x)g(x)~d x$.
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