On a vu que l'intégration était en quelque sorte l'opération inverse de la dérivation. Il n'est donc pas surprenant que des formules de dérivation conduisent à des techniques d'intégration. L'exemple le plus frappant est celui de l'intégration par substitution, aussi appelée intégration par changement de variable, qui est une conséquence directe de la formule de dérivation des fonctions composées.
Rappel 1. La composée de deux fonctions $F$ et $g$ (dans cet ordre) est définie par la formule
$\left(F \circ g \right)(x) = F(g(x))$.
Rappel 2. Soient $F$ et $g$ deux fonctions. Si $g$ est dérivable en $x$ et si $F$ est dérivable en $g(x)$, alors $F \circ g$ est dérivable en $ x$ et
$\dfrac{d}{dx} \left(F \circ g \right)(x) = F'\left(g(x) \right)g'(x)$.
Remarque 1. Si on pose $f=F'$, la formule peut se réécrire
$\dfrac{d}{dx} F \left (g(x) \right) = f \left (g(x) \right) g'(x)$.
Ceci conduit directement au théorème suivant :
Théorème 1. Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle ouvert $J$. Si $g$ est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ dont l'image par $g$ est contenue dans $J$, alors $F(g(x))$ est une primitive de $f(g(x)g'(x)$ sur $I$.
Remarque 2. En termes d'intégrale indéfinie, on peut écrire que
$\int f(g(x))g'(x)~dx = F(g(x))+C$
sur $I$.
Remarque 3. Formellement, on peut introduire la variable $u=g(x)$, poser $du=g'(x)dx$ et conclure que si
$\int f(x)~dx = F(x)+C$
sur $J$, alors
$\int f(g(x))g'(x)~dx = \int f(u)~du = $
$F(u)+C = F(g(x))+C$
sur $I$ (d'où le nom de « changement de variable »).
Exemple 1. Soit à calculer $\int \cos(x^3)x^2~dx$. Posons $u=x^3$, d'où $du=(x^3)'~dx=3x^2~dx$ et donc $x^2~dx = \frac {1} {3} du$. On obtient alors
$\int \cos(x^3)x^2~dx = \frac {1} {3} \int \cos(u)~du $
$= \frac {1} {3} \sin(u)+C =
\frac {1} {3} \sin(x^3)+C$
sur $\mathbb{R}$.
Remarque 4. On rencontre très souvent des intégrales de la forme $\int f(ax)~dx$ où $a$ est une constante non nulle. Si on pose $u=ax$, on constate que $du = adx \implies dx = du/a$. Donc,
$\int f(ax)~dx = \dfrac {1}{a}\int f(u)~du = $
$\dfrac {1}{a}F(u)+C = \dfrac {1}{a}F(ax)+C$
où $F$ est une primitive de $f$.
On peut conclure du résultat de la section précédente et de la formule de Newton-Leibniz que
$\int_a^b f(g(x))g'(x)~dx = F(g(x))\big|_a^b = F(g(b))-F(g(a))$
On peut obtenir le même résultat en faisant le changement de variable $u=g(x)$ dans l'intégrale, mais comme il s'agit d'une intégrale définie, il faut maintenant tenir compte de l'effet du changement de variable sur les bornes d'intégration : si $x$ varie de $a$ à $b$, $u$, lui, varie de $g(a)$ à $g(b)$. Il faut donc écrire :
$\int_a^b f(g(x))g'(x)~dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)~du$
$= F(u)\big|_{g(a)}^{g(b)} = F(g(b))-F(g(a))$.
On constate qu'on obtient bien la même réponse.
Exemple 2. On veut calculer $\int_2^3 \cos(x^3)x^2~dx$. Posons de nouveau $u=x^3$, d'où $du=3x^2~dx$ :
$\int_2^3 \cos(x^3)x^2~dx = \frac {1} {3} \int_{2^3}^{3^3} \cos(u)~du $
$= \frac {1} {3} \sin(u) \big|_{2^3}^{3^3} = \frac {1} {3} \left( \sin(27)- \sin(8) \right)$.
Remarque 5. Le résultat est bien le même que si on avait écrit
$\int_2^3 \cos(x^3)x^2~dx = \frac {1} {3} \sin(x^3) \big|_2^3$.
Un résultat important concerne les intégrales de la forme
$\int_{-a}^a f(x)~dx$
où l'intervalle d'intégration est symétrique par rapport à l'origine, lorsque la fonction $f(x)$ est soit paire soit impaire. Notons qu'on peut scinder l'intégrale en deux :
$\int_{-a}^a f(x)~dx = \int_{-a}^0 f(x)~dx + \int_0^a f(x)~dx$.
On peut ensuite faire le changement de variable $u=-x$ $\implies du=-dx$ dans la première intégrale de droite :
$\int_{-a}^0 f(x)~dx = -\int_{a}^0 f(-u)~du = \int_0^a f(-u)~du$.
En notant qu'une intégrale définie ne dépend pas du
choix de la variable d'intégration, on a donc :
$\int_{-a}^a f(x)~dx = \int_0^a f(-x)~dx + \int_0^a f(x)~dx$.
Si $f(-x) = f(x)$, les deux intégrales sont identiques ; si $f(-x) = -f(x)$, elles sont opposées. D'où le résultat :
Proposition 1. Si $f(x)$ est une fonction intégrable paire, alors
$\int_{-a}^a f(x)~dx = 2 \int_0^a f(x)~dx$.
Si $f(x)$ est une fonction intégrable impaire, alors
$\int_{-a}^a f(x)~dx = 0$.
Exercice 1. Calculez les intégrales suivantes :
| a) $\int \dfrac{x^2}{1+x^3}~dx$ | b) $\int x^3 \sqrt{x}~dx$ |
| c) $\int e^{\sin x}\cos x~dx$ | d) $\int \dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}~dx$ |
| e) $\int \dfrac{x}{1+x^4}~dx$ | f) $\int \text{tg}~x \sec x~dx$ |
Exercice 2. Calculez les intégrales suivantes :
| a) $\int \dfrac{1}{x^2+4}~dx$ | b) $\int \dfrac{1}{x^2-2x+5}~dx$ |
| c) $\int \dfrac{x-1}{x^2-2x+5}~dx$ | d) $\int \dfrac{x}{x^2-2x+5}~dx$ |
Exercice 3. Calculez les intégrales suivantes :
| a) $\int_{-1/2}^{1/2} \dfrac {\text{arcsin}~x} {\sqrt{1-x^2}}~dx$ | b) $\int_{0}^{\pi/2} \dfrac{\sin x}{1+\cos^2 x}~dx$ |
| c) $\int_{-1}^{1} \dfrac{\cos(\text{arctg}~x)}{1+x^2}~dx$ | d) $\int_{0}^{\pi/4} \dfrac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}~dx$ |
| e) $\int_{-2}^{2} \dfrac{x\cos x}{1+x^2}~dx$ | f) $\int_{0}^{\pi/2} \sin(\sin x) \cos x~dx$ |
| g) $\int_{-1}^{1} \dfrac{e^{2x}}{1+e^{2x}}~dx$ | h) $\int_{0}^{3} x \sqrt{x+1}~dx$ |
| i) $\int_{0}^{\pi/3} e^{\cos x}\sin x~dx$ | j) $\int_{-4}^{4} \dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}~dx$ |
| k) $\int_{0}^{\ln\sqrt{3}} \dfrac{e^{x}}{1+e^{2x}}~dx$ | l) $\int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos x) \text{tg}~x~dx$ |