Préliminaire : la méthode d'exhaustion
Nous allons voir que l'intégrale est définie comme la limite de « sommes de Riemann » et qu'il y a un lien étroit entre l'intégrale et le calcul d'aires. La matière présentée dans les sections qui suivent va nous préparer à aborder la théorie de l'intégration. Mais tout d'abord, une petite parenthèse historique…
La méthode d'exhaustion
Pour calculer l’aire \(A\) d’un cercle, on peut utiliser une suite de polygones réguliers à \(n\) côtés inscrits dans le cercle : leurs aires \(A_n\) s’approchent de celle du cercle quand \(n\) augmente. Mieux encore, on peut utiliser une deuxième suite de polygones réguliers circonscrits au cercle : leurs aires \(A’_n\) s’approcheront aussi de celle du
cercle et on aura \[A_n\lt A \lt A’_n ,\] ce qui donne des bornes inférieure et supérieure à la valeur de \(A\).
Ceci est un exemple d'application d'une méthode, déjà connue des Grecs de l'Antiquité, qui porte le nom de « méthode d'exhaustion ». Archimède l'a utilisée pour obtenir la valeur numérique de \(\pi\) : il a obtenu des bornes inférieure et supérieure qui différaient seulement d'environ 0.002.
Cette méthode ressemble très fort aux techniques qu'on va examiner plus loin, et plusieurs voient dans la méthode d'exhaustion l'ancêtre du calcul intégral : on pourrait donc considérer que le calcul intégral a précédé le calcul différentiel de plus de deux millénaires !