Sommes et notation Σ : théorie et vidéos

Les sommes jouent un rôle extrêmement important en calcul intégral. Voici quelques résultats fondamentaux.

1 Calculs de sommes

L'intégrale, on va le voir, est définie comme une limite de sommes. Pour être capable de calculer au moins l'intégrale des fonctions les plus simples, il est donc nécessaire de se familiariser avec le calcul des sommes, ce qui est l'objet ce cette section.

Une version plus détaillée est fournie dans le document PDF dont le lien est fourni plus bas, mais voici un résumé des résultats principaux.

Définition 1. Soient \(m\) et \(n\) des nombres entiers avec \(m\lt n\). Si \(a_{m}\), \(a_{m+1}\), \(a_{m+2}\), … , \(a_{n-1}\), \(a_{n}\) sont des nombres réels, on désigne leur somme par le symbole \(\sum_{k=m}^n a_k \) : \[\sum_{k=m}^n a_k = a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+ … +a_{n-1}+a_{n}.\] Les \(a_k\) sont appelés les termes de la somme et \(k\) est appelé l’indice de sommation.

Remarque 1. Le symbole Σ est la lettre grecque « sig­ma » majuscule. Le sigma correspond à notre s, qui est la première lettre du mot « somme ».

Le théorème suivant donne deux résultats fondamentaux concernant les sommes. Ces deux résultats sont impor­tants, car ils vont se refléter dans des résultats similaires concernant les intégrales.

Théorème 1. On a :

  1. \(\sum_{k=m}^n ca_k = c\sum_{k=m}^n a_k\) ;
  2. \(\sum_{k=m}^n (a_k+b_k) = \sum_{k=m}^n a_k+\sum_{k=m}^n b_k\).

Finalement, la proposition qui suit permet de calculer les intégrales des fonctions linéaires, quadratiques et cubiques.

Proposition 1. On a :

  1. \(\sum_{k=1}^n 1 = n\) ;
  2. \(\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\) ;
  3. \(\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ;
  4. \(\sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\).

Pour plus de détails et pour les preuves du théorème et de la proposition, veuillez consulter le document PDF Sommes et notation Σ.

2 Vidéos

Voici quatre vidéos qui reprennent la théorie des sommes et qui présentent des exemples. Vous pouvez les visionner en plein écran (pour revenir à cette page web, poussez la touche Esc/Échap).

Vidéo #1. Sommes et notation Σ.
Vidéo #2. Propriétés des sommes.
Vidéo #3. Exercices sur les sommes.
Vidéo #4. Preuves par récurrence : exemples.

3 Exercices

Vous trouverez les exercices sur les sommes à la page suivante.

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