L'intégration des fonctions rationnelles est basée sur ce qu'on appelle la « décomposition en fractions partielles ». Mais tout d'abord, quelques préliminaires.
Définition 1. On dit qu'on factorise un polynôme $P(x)$ lorsqu'on l'écrit comme un produit d'autres polynômes :
$P(x) = P_1(x)P_2(x)$.
Les polynômes $P_1(x)$ et $P_2(x)$ sont appelés des facteurs de $P(x)$. Un polynôme qu'on ne peut pas factoriser est dit irréductible.
Remarque 1. Lorsqu'on parle ici de polynômes, on sous-entend des polynômes à coefficients réels; de même, lorsqu'on parle de facteurs, on suppose qu'il s'agit de polynômes de degré au moins un (autrement dit, pas des constantes).
On peut montrer les deux propositions suivantes :
Proposition 1. Les polynômes irréductibles sont :
Proposition 2. Tout polynôme qui n'est pas irréductible peut être factorisé en un produit de polynômes irréductibles.
Définition 2. Une fonction rationnelle est une fonction de la forme
$f(x) = \dfrac {P(x)} {Q(x)}$
où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des polynômes.
Remarque 2. Lorsqu'on parlera de fonctions rationnelles dans la suite, on supposera que le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs.
Définition 3. Une fonction rationnelle est dite propre si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur
Remarque 3. Une fraction rationnelle impropre peut toujours s'écrire comme la somme d'un polynôme et d'une fraction rationnelle propre :
$\dfrac {P(x)} {Q(x)} = S(x) + \dfrac {R(x)} {Q(x)}$.
Il suffit de prendre pour $S(x)$ et $R(x)$ le quotient et le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $Q(x)$.
Exemple 1.
$\dfrac {x^2+2x+3} {x-1} = x+3 + \dfrac {6} {x-1}$
puisque
$x^2+2x+3=(x+3)(x-1)+6$.
Définition 4. Soit $f(x) = P(x)/Q(x)$ une fonction rationnelle. Une fraction partielle de $f(x)$ est une expression de la forme
$\dfrac {A} {(ax+b)^n}$ ($a \ne 0,~n \in \mathbb{N}^*$)
ou
$\dfrac {Ax+B} {(ax^2+bx+c)^n}$ ($b^2-4ac \lt 0,~n \in \mathbb{N}^*$)
dont le dénominateur est un facteur de $Q(x)$.
En algèbre, on démontre le théorème suivant :
Théorème 1. Toute fonction rationnelle propre peut s'écrire comme une somme de fractions partielles.
Voici quelques exemples simples :
Exemple 2. On voit facilement que le dénominateur de
$\dfrac {1} {x^3-x}$
se factorise en
$x^3-x = x (x^2-1) = x (x-1) (x+1)$.
Donc, il doit exister $A$, $B$ et $C$ tels que
$\dfrac {1} {x^3-x} = \dfrac {A} {x} + \dfrac {B} {x-1} + \dfrac {C} {x+1}$.
En utilisant les techniques vues dans les vidéos, on trouve $A = -1$ et $B = C= \frac {1}{2}$.
Exemple 3. Si on prend maintenant
$\dfrac {1} {x^3+x}$,
le dénominateur se factorise en
$x^3+x = x (x^2+1)$.
Donc, il doit exister $A$, $B$ et $C$ tels que
$\dfrac {1} {x^3+x} = \dfrac {A} {x} + \dfrac {Bx+C} {x^2+1}$.
De nouveau, en utilisant les techniques vues dans les vidéos, on trouve $A = 1$, $B = -1$ et $C=0$.
Exemple 4. Finalement, puisque
$x^3+x^2 = x^2 (x+1)$,
il doit exister $A$, $B$ et $C$ tels que
$\dfrac {1} {x^3+x^2} = \dfrac {A} {x} + \dfrac {B} {x^2} + \dfrac {C} {x+1}$.
Quand on résout, on trouve $A = -1$, $B = C=1$.
Lorsqu'on veut intégrer une fonction rationnelle, la première étape consiste à effectuer la division s'il ne s'agit pas d'une fonction rationnelle propre. Une fois qu'on s'est ramené à une fonction rationnelle propre, on peut effectuer la décomposition en fractions partielles et intégrer. Les exemples suivants utilisent les résultats des exemples qui précèdent.
Exemples 5 à 8.
$~~~~\int \dfrac {x^2+2x+3} {x-1}~dx = \int \left( x+3 + \dfrac {6} {x-1} \right) ~dx = \int \left( x+3 \right) ~dx + \int \dfrac {6} {x-1} ~dx = \dfrac {x^2}{2} + 3x + 6 \ln |x-1| + C$
$~~~~\int \dfrac {1} {x^3-x}~dx = \int \left( \dfrac {-1} {x} + \dfrac {1/2} {x-1} + \dfrac {1/2} {x+1} \right) ~dx = -\ln |x| + \frac {1}{2} \ln |x-1| + \frac {1}{2}\ln |x+1| + C$
$~~~~\int \dfrac {1} {x^3+x}~dx = \int \left( \dfrac {1} {x} - \dfrac {x} {x^2+1} \right) ~dx = \ln |x| - \frac {1}{2} \ln \left( x^2+1 \right) + C$
$~~~~\int \dfrac {1} {x^3+x^2}~dx = \int \left( \dfrac {-1} {x} + \dfrac {1} {x^2} + \dfrac {1} {x+1} \right) ~dx = -\ln |x| - \dfrac {1}{x} + \ln |x+1| + C$
Vous trouverez à la page suivante des vidéos et des exercices sur l'intégration des fonctions rationnelles.