Substitutions trigonométriques

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$$\DeclareMathOperator{\arcsin}{arcsin}$Plusieurs types d'intégrales se calculent en faisant un changement de variable où intervient une fonction trigonométrique. Ces substitutions font intervenir l'identité de base de la trigonométrie et celle qu'on en dérive en divisant par le carré du cosinus :

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \implies \tg^2 \theta + 1 = \dfrac {1} {\cos^2 \theta}.$

Dans ce qui suit, $a$ désigne une constante positive.

1 Intégrales contenant √a²-x²

Quand une intégrale contient

$\sqrt {a^2 - x^2}$ ($-a \le x \le a$)

on peut essayer de la calculer en faisant le changement de variable

$x = a \sin \theta$ ($- \dfrac {\pi} {2} \le \theta \le \dfrac {\pi} {2}$)

d'où

$dx = a\cos \theta~d\theta$

et

$\sqrt {a^2 - x^2} = a\cos \theta$.

Exemple 1. On veut calculer $\int \dfrac {1} {\sqrt {1 - x^2}}~dx$. On

pose $x = \sin \theta$ et l'intégrale devient

$\int \dfrac {\cos \theta} {\cos \theta}~d\theta = \int d\theta= \theta+C = \arcsin x + C$,

résultat qu'on connaissait déjà.

Exemple 2. L'intégrale $\int \sqrt {1 - x^2}~dx$ est légèrement plus difficile à calculer. En faisant le même change­ment de variable, l'intégrale devient maintenant

$\int \cos^2 \theta~d\theta = \frac {1} {2} \int \left( \cos 2 \theta + 1 \right) d\theta \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = \frac {1} {4}\sin 2\theta + \frac {1} {2}\theta+C \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = \frac {1} {2}\sin \theta \cos \theta + \frac {1} {2}\theta+C\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = \frac {1} {2} x \sqrt {1 - x^2} + \frac {1} {2}\arcsin x+C.$

2 Intégrales contenant √a²+x²

Pour calculer une intégrale qui contient

$\sqrt {a^2 + x^2}$ ($x \in \mathbb{R}$)

on essaie le changement de variable

$x = a \tg \theta$ ($- \dfrac {\pi} {2} \lt \theta \lt \dfrac {\pi} {2}$)

d'où

$dx = \dfrac {a} {\cos^2 \theta}~d\theta$

et

$\sqrt {a^2 + x^2} = \dfrac {a} {\cos \theta}$.

Exemple 3. On veut calculer $\int \dfrac {1} {\sqrt {1 + x^2}}~dx$. On pose $x = \tg \theta$ et l'intégrale devient

$\int \dfrac {1} {\cos \theta}~d\theta = \int \dfrac {\cos \theta} {\cos^2 \theta}~d\theta = \int \dfrac {\cos \theta} {1-\sin^2 \theta}~d\theta$.

On effectue maintenant le changement de variable $u = \sin \theta$ pour mettre l'intégrale sous la forme

$\int \dfrac {1} {1-u^2}~du = \frac {1} {2} \int \dfrac {1} {1+u}~du + \frac {1} {2}\int \dfrac {1} {1-u}~du \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = \frac {1} {2}\ln (1+u) - \frac {1} {2}\ln (1-u) +C\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = \frac {1} {2}\ln \dfrac {1+u} {1-u} +C = \frac {1} {2}\ln \dfrac {(1+u)^2} {1-u^2} +C,$

le dernier résultat étant obtenu en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction dans le logarithme par $1+u$. L'intégrale vaut donc

$\frac {1} {2}\ln \dfrac {(1+\sin \theta)^2} {\cos^2 \theta} +C = \ln \dfrac {1+\sin \theta} {\cos \theta} +C,$

c'est-à-dire

$\ln \left( \dfrac {1} {\cos \theta} +\tg \theta \right) +C = \ln \left( \sqrt {1 + x^2} + x \right) +C.$

3 Intégrales contenant √x²-a²

Lorsque l'intégrale contient

$\sqrt {x^2 - a^2}~~\left( x \le -a ~\text{ou}~ x \ge a \right)$

on peut essayer le changement de variable

$x = \dfrac {a} {\cos \theta}~~\left( \pi \le \theta \lt \dfrac {3 \pi} {2} ~\text{ou}~ 0 \le \theta \lt \dfrac {\pi} {2} \right)$

d'où

$dx = a \dfrac {\tg \theta} {\cos \theta}~d\theta$

et

$\sqrt {x^2 - a^2} = a\tg \theta$.

Exemple 4. On veut calculer $\int \dfrac {1} {\sqrt {x^2 - 1}}~dx$. Le changement de variable $x = 1/\cos \theta$ donne

$\int \dfrac {1} {\sqrt {x^2 - 1}}~dx = \int \dfrac {1} {\cos \theta}~d\theta$,

qui est la même intégrale que dans l'exemple de la section précédente. La réponse est donc

$\ln \left| \dfrac {1} {\cos \theta} +\tg \theta \right| +C = \ln \left| x + \sqrt {x^2 - 1} \right| +C.$

4 Vidéos

Vidéo #1. Substitutions trigonométriques I.
Vidéo #2. Substitutions trigonométriques II.
Vidéo #3. Substitutions trigonométriques III.
Vidéo #4. Substitutions trigonométriques IV.

5 Exercices

Vous trouverez ici une série d'exercices sur la matière couverte dans cette page web.

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