Nous allons maintenant voir comment calculer les longueurs de ce qu'on appelle des courbes paramétrées.
Pour éviter le problème qu'on a eu à la page précédente avec le cercle trigonométrique, on peut considérer des courbes paramétrées.
Définition 1. Une courbe paramétrée est une courbe où les coordonnées de chaque point sont exprimées comme fonctions d'un même paramètre :
$x=f(t),~y=g(t)~~~(a \le t \le b)$.
Exemple 1. Le cercle trigonométrique peut être exprimé comme la courbe paramétrée
$x=\cos t,~y=\sin t~~~(0 \le t \le 2 \pi)$.
Plus généralement, le cercle de centre $(a, b)$ et de rayon $r$ peut être exprimé comme la courbe paramétrée
$x=a+r \cos t,~y=b+r \sin t~~~(0 \le t \le 2 \pi)$.
Exemple 2. On peut montrer que
$x=(1-t) x_1 +t x_2,~y=(1-t) y_1 +t y_2~~(0 \le t \le 1)$
est l'équation paramérique du segment de droite qui joint les points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$.
Remarque 1. Toute courbe de la forme $y=f(x)$ $(a \le x \le b)$ peut être considérée comme une courbe paramétrée avec $x$ comme paramètre. En effet, on peut toujours l'écrire
$x=t,~y=f(t)~~~(a \le t \le b)$.
Une remarque similaire s'applique aux courbes de la forme $x=g(y)$ $(c \le y \le d)$.
Le principe pour obtenir une formule donnant la longueur d'une courbe paramétrée est le même que dans le cas d'un graphe : on découpe l'intervalle $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles $[t_{i-1}, t_i]$ de largeur commune $\Delta t = (b-a)/n$
et on approxime la courbe par une ligne brisée formée de segments $P_{i-1}P_i$ où $P_i$ est le point $(f(t_i), g(t_i))$. Un raisonnement analogue à celui fait plus haut conduit alors à la formule
$L = \int_a^b \sqrt{\left(f'(t) \right)^2+\left(g'(t) \right)^2}~dt = \int_a^b \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt} \right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt} \right)^2} ~dt$
pourvu que les fonctions $f$ et $g$ soient toutes les deux continûment dérivables. À titre d'exercice, utilisez cette
formule pour montrer de nouveau que la longueur du cercle trigonométrique est $2\pi$.
Exemple 3. Pour calculer la longueur de l'arc de courbe
$x=t^2,~~y=t^3$
situé entre les points $(1, 1)$ et $(4, 8)$, on utilise la formule
$L = \int_1^2 \sqrt{\left(2t \right)^2+\left(3t^2 \right)^2}~dt = \int_1^2 \sqrt{4t^2+9t^4}~dt$
c.-à-d.
$L = \int_1^2 t\sqrt{9t^2+4}~dt$.
En effectuant le changement de variable $u = 9t^2+4$ $\implies$ $du = 18tdt$, on obtient
$~L = \dfrac{1}{18}\int_{13}^{40} \sqrt{u}~du = \dfrac{u^{3/2}}{27} \big|_{13}^{40} = \dfrac{40\sqrt{40}=13\sqrt{13}}{27}$.
Définition 2. Soit
$x=f(t),~y=g(t)~~~(a \le t \le b)$.
une courbe paramétrée et soit $t_0 \in ]a, b[$. On appelle abscisse curviligne l'expression
$s(t) = \int_{t_0}^t \sqrt{\left(f'(t') \right)^2+\left(g'(t') \right)^2}~dt'$.
Autrement dit, $s(t)$ est la longueur de la portion de la courbe entre le point $(x_0, y_0) = \left( f(t_0), g(t_0) \right)$ et le point $(x, y) = \left( f(t), g(t) \right)$, comptée négativement si $t < t_0$.
Exemple 4. La courbe paramétrée
$x=a t \cos t,~y=a t \sin t~~~(t \ge 0)$,
où $a > 0$, s'appelle une spirale d'Archimède. Si on
$s(t) = a\int_{0}^t \sqrt{1+t'^2}~dt'.$
En utilisant une table d'intégrales, on trouve
$s(t) = \dfrac{at}{2}\sqrt{1+t^2}+\dfrac{a}{2}\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right).$
Remarque 2. Si la courbe paramétrée
$x=f(t),~y=g(t)~~~(a \le t \le b)$.
a comme paramètre une abscisse curviligne, on dit que la paramétrisation est normale. Dans ce cas, on aura
$\left(f'(t) \right)^2+\left(g'(t) \right)^2 = 1$
et
$s(t) = t-t_0$.
Exercice 4. Montrez que si on calcule la longueur d'un segment de droite, on obtient la distance entre ses extrémités.