Aire d'une surface de révolution

La surface de révolution la plus simple qu'on puisse envisager est celle qui a pour génératrice un segment de droite situé dans le demi-plan supérieur avec comme axe l'axe des $x$. Un tel segment est représenté dans la figure 1. Nous désignerons les coordonnées de ses extrémités par $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$.

La figure 2 représente la surface de révolution obtenue en faisant tourner ce segment autour de l'axe des $x$. On constate qu'il s'agit de la surface latérale du solide de révolution obtenu en faisant tourner la région délimitée par le segment, l'axe des $x$ et les verticales $x= x_1$ et $x=x_2$. Ce solide est un tronc de cône avec des bases circulaires de rayons respectifs $y_1$ et $y_2$.

Nous voulons maintenant calculer l'aire de cette surface. Il y a plusieurs manières d'y arriver. Une des plus intuitives consiste à remarquer que la surface peut être approximée par une série de $n$ trapèzes égaux (voir la figure 3). Si chacun de ces $n$ trapèzes a des bases de longueurs $a$ et $b$ et une hauteur $h$, cela donnera comme approximation de l'aire latérale du tronc de cône

$A \approx n \dfrac{a+b}{2} h$.

Il est clair en regardant la figure que si $n$ tend vers l'infini, $na$ et $nb$ vont tendre vers les circonférences respectives des deux bases, $2 \pi y_1$ et $2 \pi y_2$, alors que $h$ va tendre vers la longueur $l$ du segment de droite. Ceci conduit à la formule

$A = \pi (y_1+y_2) l, ~~~l = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

Considérons maintenant une surface de révolution engendrée par la courbe

$y=f(x)~~~(a \le x \le b)$.

lorsqu'on la fait tourner autour de l'axe des $x$, en supposant que $f(x) \ge 0$ pour $x \in [a, b]$ et que $f$ est continûment dérivable. On veut calculer l'aire $A$ de cette surface.

Tout comme on l'a fait pour calculer la longueur d'une courbe (voir page précédente), divisons l'intervalle $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles $[x_{i-1}, x_i]$ de largeur égale $\Delta x = (b-a)/n$, avec $x_0 = a$ et $x_n = b$, et approximons le graphe par la ligne brisée qui passe par les points $(x_i, f(x_i))$ (figure 4). La surface de révolution engendrée par le graphe (figure 5) sera d'autant mieux approximée par celle engendrée par la ligne brisée (figure 6) que $n$ sera grand. Or, la seconde surface est formée de $n$ troncs de cône : on connait donc son aire. Ceci donne comme approximation de $A$ la valeur

$A \approx \sum_{i=1}^n \pi \left(f(x_{i-1})+f(x_i) \right) l_i$

où, en posant $\Delta y_i = f(x_i)-f(x_{i-1})$,

$l_i = \sqrt{\left(\Delta x \right)^2+ \left(\Delta y_i\right)^2} = \sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y_i}{\Delta x} \right)^2}\Delta x$.

Tout comme avant, avec nos hypothèses, on aura dans chacun des sous-intervalles i un point $x_i^*$ tel que $\Delta y_i = f'(x_i^*) \Delta x$. Si on fait l'appro­xi­mation supplémentaire $f(x_{i-1})+f(x_i) \approx 2f(x_i^*)$, on obtient au total

$A \approx \sum_{i=1}^n 2\pi f(x_i^*) \sqrt{1+\left(f'(x_i^*) \right)^2}\Delta x$.

Lorsqu'on fait tendre $n$ vers l'infini, cette expression a pour limite

$A = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2}~dx$.

Considérons à nouveau la surface de révolution engendrée par la courbe

$y=f(x)~~~(0 \le a \le x \le b)$,

où $f$ est continûment dérivable, mais en supposant cette fois-ci qu'on la fait tourner autour de l'axe des $y$. Encore une fois, approximons le graphe par la ligne brisée qui passe par les points $(x_i, f(x_i))$ (figure 7), les $x_i$ étant les extrémités de sous-intervalles $[x_{i-1}, x_i]$ de largeur égale $\Delta x = (b-a)/n$ avec $x_0 = a$ et $x_n = b$. Les différences avec le raisonnement de la section 2 seront les suivantes :

i) selon la remarque 2, la formule pour l'aire de la surface latérale des troncs de cône est maintenant

$\pi (x_{i-1}+x_i)l_i,~~~~~~~l_i = \sqrt{\left(\Delta x \right)^2+ \left(\Delta y_i\right)^2}$;

ii) certains de ces troncs de cônes seront plutôt des anneaux si $f(x_{i-1}) = f(x_i)$, le segment correspondant étant alors horizontal. Cepen­dant, cela n'a pas d'importance car si $\Delta y_i = 0$, la formule donne comme aire $\pi (x_{i-1}+x_i)\Delta x$ qui est bien l'aire d'un anneau.

Si on désigne par $A$ l'aire de la surface engendrée par la rotation du graphe (figure 8), on aura une approximation donnée par l'aire de la surface engen­drée pa la rotation de la ligne brisée (figure 9) dont la valeur sera

$A \approx \sum_{i=1}^n 2\pi \bar{x}_i \sqrt{1+\left(f'(x_i^*) \right)^2}\Delta x$

où $x_i^* \in ]x_{i-1}, x_i[$ et $\bar{x}_i = (x_{i-1}+x_i)/2$. De nouveau, on peut faire l'appro­ximation supplémentaire $\bar{x}_i \approx x_i^*$ et l'expression résultante aura pour limite

$A = \int_a^b 2\pi x \sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2}~dx$.

Supposons maintenant que la génératrice soit une courbe paramétrée

$x=f(t),~y=g(t)~~~(a \le t \le b,~~g(t) \ge 0)$

comme le cercle de la figure 7. En faisant le même genre de raisonnement qu'à la page précédente, l'approximation plus haut devient

$A \approx \sum_{i=1}^n \pi \left(g(t_{i-1})+g(t_i) \right) l_i$

où, en posant $\Delta x_i = f(t_i)-f(t_{i-1})$ et $\Delta y_i = g(t_i)-g(t_{i-1})$,

$l_i = \sqrt{\left(\Delta x_i \right)^2+ \left(\Delta y_i\right)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{\Delta x_i}{\Delta t} \right)^2+\left(\dfrac{\Delta y_i}{\Delta t} \right)^2}\Delta t$.

En passant à la limite $\Delta t \rightarrow 0$, on est conduit à la formule

$A = \int_a^b 2\pi g(t) \sqrt{\left(f'(t) \right)^2+\left(g'(t) \right)^2}~dt$.