Voici la suite de la matière sur les surfaces de révolution ainsi que des vidéos et des exercices.
1 Cas d'une génératrice de la forme y = f(x) ou x = g(y) (suite)
Fig. 1. Graphe d'une fonction (en cyan) et son approximation par une ligne brisée (en noir).Fig. 2. Surface de révolution engendrée par le graphe.Fig. 3. Surface de révolution engendrée par la ligne brisée.
Considérons à nouveau la surface de révolution engendrée par la courbe
$y=f(x)~~~(0 \le a \le x \le b)$,
où $f$ est continûment dérivable, mais en supposant cette fois-ci qu'on la fait tourner autour de l'axe des $y$. Encore une fois, approximons le graphe par la ligne brisée qui passe par les points $(x_i, f(x_i))$ (figure 7),
les $x_i$ étant les extrémités de sous-intervalles $[x_{i-1}, x_i]$ de largeur égale $\Delta x = (b-a)/n$ avec $x_0 = a$ et $x_n = b$. Les différences avec le raisonnement de la section 2 seront les suivantes :
i) selon la remarque 2, la formule pour l'aire de la surface latérale des troncs de cône est maintenant
$\pi (x_{i-1}+x_i)l_i,~~~~~~~l_i = \sqrt{\left(\Delta x \right)^2+ \left(\Delta y_i\right)^2}$;
ii) certains de ces troncs de cônes seront plutôt des anneaux si $f(x_{i-1}) = f(x_i)$, le segment correspondant étant alors horizontal. Cependant, cela n'a pas d'importance car si $\Delta y_i = 0$, la formule donne
comme aire $\pi (x_{i-1}+x_i)\Delta x$ qui est bien l'aire d'un anneau.
Si on désigne par $A$ l'aire de la surface engendrée par la rotation du graphe (figure 8), on aura une approximation donnée par l'aire de la surface engendrée pa la rotation de la ligne brisée (figure 9)
dont la valeur sera
où $x_i^* \in ]x_{i-1}, x_i[$ et $\bar{x}_i = (x_{i-1}+x_i)/2$. De nouveau, on peut faire l'approximation supplémentaire $\bar{x}_i \approx x_i^*$ et l'expression résultante aura pour limite
$A = \int_a^b 2\pi x \sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2}~dx$.
Remarque 1. La formule peut aussi s'écrire
$A = \int_a^b 2\pi x \sqrt{1+(y')^2}~dx = \int_a^b 2\pi x \sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx} \right)^2}~dx$.
Remarque 2. Pour une génératrice de la forme $x=g(y)$ où $0 \le c \le y \le d$ et où $g$ est continûment dérivable, l'aire de la surface engendrée en faisant tourner la courbe autour de l'axe
des $x$ est
$A = \int_c^d 2\pi y \sqrt{1+\left(g'(y) \right)^2}~dy$.
Exemple 1. Dans le problème 2, plus haut, on peut donc garder $x$ comme variable et calculer $A$ par la formule
$A = \int_0^3 2\pi x \sqrt{1+(y')^2}~dx = \int_0^3 2\pi x \sqrt{1+4x^2}~dx= 2\pi \dfrac{1}{8}\int_1^{37} \sqrt{u}~du
=\dfrac{\pi}{4}\dfrac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_1^{37} = \dfrac{\pi}{6} \left(37 \sqrt{37}-1 \right)$.
2 Cas où la génératrice est une courbe paramétrée
Fig. 4. Cercle de centre $(a, b)$ dans le plan $xy$.Fig. 5. Tore engendré par le cercle de la figure 4.
Supposons maintenant que la génératrice soit une courbe paramétrée
$x=f(t),~y=g(t)~~~(a \le t \le b,~~g(t) \ge 0)$
comme le cercle de la figure 7. En faisant le même genre de raisonnement qu'à la page précédente, l'approximation plus haut devient
$A = \int_a^b 2\pi y \sqrt{(x')^2+(y')^2}~dt = \int_a^b 2\pi y \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt} \right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt} \right)^2}~dt$.
Remarque 4. Si $f(t)>0$ et si on fait tourner la courbe autour de l'axe des $y$, la formule devient
$A = \int_a^b 2\pi f(t) \sqrt{\left(f'(t) \right)^2+\left(g'(t) \right)^2}~dt \\~~~= \int_a^b 2\pi x \sqrt{(x')^2+(y')^2}~dt=
\int_a^b 2\pi x \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt} \right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt} \right)^2}~dt.$
Exemple 2. La figure 10 montre un cercle de centre $(a, b)$ et de rayon $r$ dans le plan $xy$ (où on suppose $b>r>0$). Lorsqu'on fait tourner ce cercle autour de l'axe des $x$,
on obtient le tore de la figure 11. Prenons comme paramétrisation du cercle
$x=a+r \cos t,~y=b+r \sin t~~~(0 \le t \le 2 \pi) \implies x'=-r \sin t,~y'= r \cos t$.
